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1、直線、平面平行與垂直的判定與其性質7,在四棱錐P—ABCD^，四邊形ABC班梯形，AD//BC,ZABC=90,平面PABL平面ABCD 平面PA8平面ABCD. 〔1〕求證：PM平面ABCD 〔2〕假如平面PAB］平面PCDl,問：直線l能否與平面ABCDf行?請說明理由. 【解析】〔1〕因為/ABC=90,AD//BC,所以ADLAB. 而平面PA或平面ABCD且平面PAB'、平面ABCD=AB, 所以ADL平面PAB,所以ADLPA. 同理可得ABLPA. 由于ABAD平面ABCD且AB，］AD=A所以PM平面ABCD. 〔2〕〔方法一〕不平行. 證明：假定直線l//

2、平面ABCD, 由于l平面PCD且平面PCD平面ABCD=CD,所以l//CD. 同理可得l//AB,所以AB//CD. 這與AB和CD是直角梯形ABCD勺兩腰不平行相矛盾， 故假設錯誤，所以直線l與平面ABCE^平行. 〔方法二〕因為梯形ABCgAD//BC, 所以直線AB與直線CD相交，設AB'1CD=T. 由TCDCD平面PCD得T平面PCD. 同理T平面PAB. 即T為平面PCD^平面PAB的公共點，于是PT為平面PCD^平面PAB的交線. 所以直線l與平面ABCE^平行. ,BB1的 8.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,BCBG,ABBC1,E,

3、F,G分別為線段AC1,A1C1 BCBC1AB11BC1 B BC 平面 ABG BC 平面 ABC 平面 ABC 平面ABC 中點，求證: 〔1〕平面ABC平面ABC1; 〔2〕EF//面BCC1B1； 〔3〕GF平面AB1C1 【解析】(1)■/BCAB (2)、AEEC1,AFFC1,EF//AA ?-BB1//AAEF//BB1 ■■'EF面BCC1B1EF//面BCC1B1； ⑶連接EB，如此四邊形EFGB^平行四邊形EBAC1FGAC1/BC面ABC1B1C1面ABC1,B1C1BEFGB1C1 TBQ3C1C1GF平面AB1C1

4、。 9. 在四棱錐3ABCD^，底面ABC以菱形，OM平面ABCDE為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，求證: 〔1〕平面BDCX平面ACO 〔2〕EF//平面OCD. 【解析】證明：⑴OA平面ABCD,BD平面ABCD，所以OABD,?.?四邊形ABCD是菱形，ACBD,又OAnACA, BD平面OAC,又BD平面OBD,???平面BDO平面ACO. 1⑵取OD中點M，連接EM,CM,如此ME||AD,ME-AD,OC 2O ..四邊形ABCD是菱形，AD//BC,ADBC,1 .?F為BC的中點，CF||AD,CF-AD,2 ME||CF,MECF. .四邊形EFCM是平行

5、四邊形，EF//CM,又.?EF平面OCD,CM平面OCD???EF||平面OCD 10. 如圖l,等腰梯形ABCW,AD//BC,AB=ADZABC=60,E是BC的中點.如圖2,將^ABE皆AE折起,使二面角B-A…C成直二面角，連結BC,BD,F是CD的中點，P是棱BC的中點. (1) 求證：A」BD;' (2) 求證：平面PEI平面AECD (3) 判斷DE能否垂直于平面ABC并說明理由. 【解析】〔1〕連接BE，取AE中點M,連接BM,DM. 在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=ADABC60,E是BC的中點 ABE與ADE都是等邊三角形BMAE,DMAEPBMC

6、1DMM,BM,DM平面BDMAE平面BDM、BD平面BDMAEBD. 〔2〕連接CM交EF于點N,連接PNMME//FC,且ME=FC四邊形MECF是平行四邊形N是線段CM的中點 ■P是線段BC的中點PN//BMWBM平面AECDPN平面AECD.'「PN平面PEF平面PEF平面AECD 〔3〕DE與平面ABC不垂直. 證明：假設DE平面ABC,如此DEAB、BM平面 AECDBM DE B,AB,BM 平面ABEDE平面ABE DEAE, 這與AED 60?矛盾 DE與平面 ABC不垂直. 11.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD中為菱形，BAD60,

7、Q為AD的中點。 (1)(2)【解析】 ABD為正三角形?.?Q為AD中點 ADBQPAPDQ為AD的中點，ADPQ又BQDPQQ AD平面PQB,AD平面PAD 平面PQB平面PAD 1〔2〕當t—時，使得PA||平面MQB，連接AC交BQ于N,交BD于O,如此O為BD的中點，3AN AC3a。 PAII平面MQBPA 平面PAC平面PAC平面MQBMN 又BQ為ABD邊AD上中線，N為正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a,如此 PA||MNPM PC AN AC ，3 一a 3— ,3a 即：PM】PCt1。 33 12. 如圖，

8、四邊形ABC%菱形，PM平面ABCDM為PA的中點 〔I〕求證:PC//平面BDM〔口〕假如P4AO42,BA2足，求直線BM^平面PAC所成的角. 【解析】〔I〕設AC與BD的交點為0,連結OM. 因為四邊形ABC虎菱形，如此0為AC中點. 又M為PA的中點，所以OIWPC. 因為0而平面BD岫，所以PC//平面BDM. 〔口〕因為四邊形ABC班菱形，如此BDLAC. 又PM平面ABCD如此PHBD. 所以BDL平面PAC. 所以ZBM建直線BM與平面PAC所成的角. 因為PM平面ABCD所以PMAC.在Rt△PAC中，因為PA=AO72，如此PE2. 1又點M與點0分

9、別是PA與AC的中點，如此M孚2PO1. 1殷3又BO2ba*3,在Rt△BOMfr,tanZBM@MO，所以ZBMO=60°. 故直線BM與平面PAC所成的角是60°. 【解析】〔I〕由三視圖可知，多面體是直三棱柱，兩底面是直角邊長為 又ACDN,所以，AC面GND,GN 面GND 所以GNAC 〔H〕VeFMC VadFBCEVfAMCD Vembc SBCE —1—-CD—FDSamCD3 1ECS3 MBC 一個棱柱的直觀圖和三視圖〔主視圖和俯視圖是邊長為a的正方形，左視圖是直角邊長為a的等腰三角形〕如下列圖，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一

10、動點. 〔I〕求證：GNAC；〔n〕求三棱錐FMCE的體積； 〔板當FGGD時，證明AG//平面FMC. a的等腰直角三角形，側面ABCD,CDFE是邊長為a的正方形 連結DN,因為FDCD,FDAD,所以,FD面ABCDFDAC VEFMCVMCEF另解： 3ad CEF 1113-a-aa-a326 1 1 1 ,a a)aa 1 1 a 13 -aaa — — ( — — — aa-a 2 3 2 2 3 2 2 =6 〔m〕連結DE交FC于Q,連結QG因為g，Q，m分別是FD，F(xiàn)C，AB的中點，所以

11、GQ// 1CD AM//2，所以, AM//GQ,AMGQ是平行四邊形 AG//QM,AG面FMC,MQ面FMC所以，AG//平面FMC 13. 如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的出倍，P為側棱SD上的點。 〔1〕求證：ACLSR 〔2〕假如SDL平面PAC在SC上取一點E,使甌EC二2」，連接BE求證：BE//平面PAC. 【解析】〔1〕連BD,設AC交BD于0,由題意SO±AC。 在正方形ABCg,所以XG1平面瀝，得乂"SQ. 〔2〕由田H平面舟C,知SD±PC,在等腰三角形scd中DF=-SD可解得'. 在酣上取一點即，使珥，所以泌門PC,連BN在中知月MVP0,又由于理"扣，故平面3珈〃平面AC,啟廣平W.