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1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,在控制系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。 建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法主要有兩種：分析法和實(shí)驗(yàn)法 本章研究用分析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的方法。,自動(dòng)控制原理中數(shù)學(xué)模型的形式： 時(shí)域中常用的數(shù)學(xué)模型：微分方程、差分方程和狀態(tài)方程； 復(fù)數(shù)域中常用的數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖； 頻域中常用的數(shù)學(xué)模型：頻率特性等。 本章研究微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖這幾種數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用，其余幾種數(shù)學(xué)模型將在以后各種中分別詳細(xì)闡述。,本章目錄,2-1 控制系統(tǒng)的

2、時(shí)域數(shù)學(xué)模型 2-2 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 2-3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖 2-4 在Matlab中數(shù)學(xué)模型的表示 2-5 本章小結(jié) 2-6 控制系統(tǒng)建模實(shí)例,2-1 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型,本節(jié)著重研究描述線性、定常、集總參量（對(duì)應(yīng)非線性，時(shí)變、分布參量）控制系統(tǒng)的微分方程的建立和求解方法。 本節(jié)內(nèi)容： 1.線性元件的微分方程 2.控制系統(tǒng)微分方程的建立 3.線性系統(tǒng)的基本特性 4.線性定常微分方程的求解 5.非線性微分方程的線性化 6.運(yùn)動(dòng)的模態(tài),返回,1.線性元件的微分方程,控制系統(tǒng)是由各種物理元件有機(jī)組合構(gòu)成的，因此，在研究控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之前，我們有必要對(duì)常見控制系統(tǒng)中常用

3、的物理元件的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，最終將這些元件的數(shù)學(xué)模型合理組合起來就構(gòu)成了整個(gè)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 舉例說明控制系統(tǒng)中常用的電氣元件、力學(xué)元件等微分方程的列寫。（在允許的情況下，通常將非線性特性不強(qiáng)物理元件認(rèn)為是線性的，以簡(jiǎn)化處理；如果非線性較強(qiáng)，則不能認(rèn)為是線性的。）,例2-1 圖中是由電阻R、電感L和電容C組成的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，試列寫以 為輸入量， 以 為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。,解 設(shè)回路電流為 ，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為,消去中間變量 ，便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為,顯然，這是一個(gè)二階線性微分方程，也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。,例 試列寫圖中所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方

4、程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t) 。,解 根據(jù)基爾霍夫定理，可列出以下式子：,整理得：,令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 則得,該網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階線性常微分方程。（兩個(gè)儲(chǔ)能元件）,討論： 比較兩個(gè)例題的時(shí)域表達(dá)式的形式,均為二階線性微分方程，模型結(jié)構(gòu)均為： 因此，驗(yàn)證了不同的系統(tǒng)有結(jié)構(gòu)相似的數(shù)學(xué)模型（相似系統(tǒng)）。因此研究某一類通用的數(shù)學(xué)模型，可以對(duì)應(yīng)很多種系統(tǒng)，這在下面將要介紹的彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)中可以得到更進(jìn)一步的證實(shí)。 另外，對(duì)無源網(wǎng)絡(luò)來說，電感、電容的個(gè)數(shù)決定了微分方程的階次。,例2-3 圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試列寫

5、外力F(t)與位移y(t)之間的微分方程。,解 彈簧和阻尼器有相應(yīng)的彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律有 ：,其中F1(t)和F2(t)可由彈簧、阻尼器特性寫出,式中 k 彈簧系數(shù) f 阻尼系數(shù),代入，,整理且標(biāo)準(zhǔn)化,令 稱為時(shí)間常數(shù)； 稱為阻尼比； 稱為放大系數(shù)。,得,該網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型也是一個(gè)二階線性常微分方程。,例 2-2 試寫圖所示電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓 為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 為輸出量。圖中， 分別是電樞電路的電阻和電感； 是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。勵(lì)磁磁通設(shè)為常值。,解 電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，也就是

6、由輸入電樞電壓 在電樞或回路中產(chǎn)生電樞電流 ，再由電樞電流 與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩 ，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成：,電樞回路電壓平衡方程,電磁轉(zhuǎn)矩方程,電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程,以上三式聯(lián)立，消去中間變量，便可得到以為輸出量，以為輸入量的直流電動(dòng)機(jī)微分方程,二階微分方程,如果電樞電阻 和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 都很小，可以忽略不計(jì)時(shí)，上式可以簡(jiǎn)化為,在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感 較小，通常忽略不計(jì)，上式可簡(jiǎn)化為,一階微分方程,電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比，因此，電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用，構(gòu)成反饋系統(tǒng)。,列寫微分方程的步驟可以總結(jié)如下： 1. 根據(jù)元件的工作

7、原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量。 2. 分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程。 3. 消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程，便是元件時(shí)域的數(shù)學(xué)模型。一般情況下，應(yīng)將微分方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的寫在方程的左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。,返回,2.控制系統(tǒng)微分方程的建立,控制系統(tǒng)的微分方程是其各個(gè)組成元件微分方程的有機(jī)組合。 建立控制系統(tǒng)的微分方程時(shí)，一般先由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)的方塊圖，并分別列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然消去中間變量便得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。 列寫系統(tǒng)

8、各元件的微分方程時(shí)需注意兩點(diǎn)： 1.注意信號(hào)傳遞的單向性，前級(jí)的輸出是后級(jí)的輸入。 2.注意前后連接兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)。,例2-5 試列寫下圖所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。,解 控制系統(tǒng)的被控對(duì)象是電動(dòng)機(jī)（帶負(fù)載），系統(tǒng)的輸出量是轉(zhuǎn)速 ，輸入量是電壓 ，控制系統(tǒng)由給定電位器、運(yùn)算放大器1(含比較作用），運(yùn)算放大器2(含RC校正網(wǎng)絡(luò)）、功率放大器、直流電動(dòng)機(jī)、測(cè)速發(fā)電機(jī)、減速器等部分組成。分別列寫各部分的微分方程：,運(yùn)算放大器1（形成并放大偏差）,運(yùn)算放大器2（RC校正網(wǎng)絡(luò)）,功率放大器,直流電動(dòng)機(jī),齒輪系,測(cè)速發(fā)電機(jī),從上述方程中，消去各個(gè)中間變量，整理后便可得到控制系統(tǒng)的微分方程

9、：,一階微分方程,該式可用于研究在給定電壓 或有負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩 時(shí)，速度控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。,討論 從以上幾個(gè)例題所示線性元件或控制系統(tǒng)的微分方程可以發(fā)現(xiàn)，不同類型的線性元件或控制系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型。例如，RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程，或者例題2-5的速度控制系統(tǒng)可看做為一階微分方程，我們稱這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的相似關(guān)系，便于我們使用一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ)。,返回,3.線性系統(tǒng)的基本特性,能用線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。(自控原理主要研究的一類系統(tǒng)

10、）,一般情況下，描述線性系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的微分方程為:,線性時(shí)不變(LTI，linear time invaritable）輸入與輸出關(guān)系 的微分方程為：,線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)就是滿足疊加原理，也就是滿足疊加原理的兩個(gè)性質(zhì)：可疊加性和齊次性（或稱均勻性）,舉例說明：設(shè)有線性微分方程為,當(dāng),時(shí)，上述方程的解為 ；,當(dāng),時(shí)，,其解為 。,如果 ，容易驗(yàn)證，方程的解必為,而當(dāng) 時(shí) ，式中A為常數(shù)，則方程的解必為,這就是可疊加性。,這就是齊次性（或稱均勻性)。,線性系統(tǒng)的疊加原理表明，兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，其輸出亦

11、相應(yīng)增大同樣倍數(shù)。 因此，對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，如果有幾個(gè)外作用同時(shí)施加于系統(tǒng)，則可以講他們分別處理，依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)加入時(shí)系統(tǒng)的輸出，然后將他們疊加。此外，每個(gè)作用在數(shù)值上可取單位值，從而大大簡(jiǎn)化了線性系統(tǒng)的研究工作。,返回,4.線性定常微分方程的求解,線性定常微分方程的求解方法有 經(jīng)典法 拉氏變換法（詳細(xì)閱讀教材附錄A，拉氏變換P632） 計(jì)算機(jī)求解(matlab) 在自動(dòng)控制原理中，重點(diǎn)掌握拉氏變換法求解線性定常微分方程，其核心思想是將微分方程轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)方程，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體步驟可歸結(jié)為： 1) 考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的

12、代數(shù)方程。 2）由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式。 3）對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。,拉氏變換表 （常用函數(shù)） 拉氏變換線性定理 其中， 拉氏變換的微分定理 特別， 拉氏變換的初值定理 終值定理,例題2-6（理解拉氏變換求解微分方程的方法，零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，初值定理和終值定理）,例2-6 在例2-1中，若已知 ，且電容上初始電壓 ，初始電流 ，電源電壓 。試求電路突然接通電源時(shí)，電容電壓 的變化規(guī)律。,解 已得網(wǎng)絡(luò)微分方程為,對(duì)各個(gè)變量取拉氏變換（注意初始條件）,代入整理，得,拉氏變換法解此微分方程：,由于電路是突然接通電源的，因此

13、 可以視為階躍輸入量，即 ，或看做 ，代入求拉式反變換得到網(wǎng)絡(luò)微分方程的解,部分分式法，或留數(shù)法,前兩項(xiàng)與與初始條件無關(guān)，是由網(wǎng)絡(luò)輸入產(chǎn)生的，因此稱為零狀態(tài)響應(yīng)，后一項(xiàng)是初始條件產(chǎn)生的，稱為零輸入響應(yīng)。,如果電路時(shí)突然接通又立即斷開，則可看做輸入響應(yīng)時(shí)脈沖函數(shù)，即 ，代入可求得網(wǎng)絡(luò)的輸出的單位脈沖響應(yīng)，即為,另外，利用拉氏變換的初值定理和終值定理，可以直接從 的表達(dá)式中直接求出網(wǎng)絡(luò)電壓的 的初始值和終值。,當(dāng) 時(shí)， 的初始值為,的終值為,返回,5.非線性微分方程的線性化,非線性環(huán)節(jié)廣泛存在。 嚴(yán)格地講，幾乎所有實(shí)際物理和化學(xué)系統(tǒng)都是非線性的。 例如，彈簧剛度并非常值，實(shí)際上與其形變有關(guān)，是位移

14、的函數(shù)；電阻、電容、電感等參數(shù)值也并非常值，與周圍環(huán)境等有關(guān)；電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線性因素會(huì)使其運(yùn)動(dòng)方程復(fù)雜化而成為非線性方程。,處理非線性的方法,1.忽略，視為線性元件。,2.切線法，小偏差法。（本節(jié)討論，適用范圍有限，近似法）,3.非線性系統(tǒng)理論，如描述函數(shù)法、相平面法、逆系統(tǒng)法等。,切線法的實(shí)質(zhì)是： 在小范圍內(nèi)，用切線代替曲線，從而達(dá)到線性化的目的。 具體做法是： 在工作點(diǎn)附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，忽略高次項(xiàng)。,切線法（小偏差法）線性化具體推導(dǎo)：,為連續(xù)變化的非線性函數(shù)。取某平衡狀態(tài)A為工作點(diǎn)。對(duì)應(yīng)有 。當(dāng) 時(shí)， 。設(shè) 在 連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開為,當(dāng)增量 很小時(shí)，略

15、去其高次冪項(xiàng)，則有,略去 ，便得到函數(shù) 在工作點(diǎn)A附近的線性化方程為 。,對(duì)于具有兩個(gè)變量的非線性函數(shù)，同樣可在某工作點(diǎn)用泰勒級(jí)數(shù)展開的方式簡(jiǎn)化為線性函數(shù)（參見教材）。,注意： 線性化方程的參數(shù) 與工作點(diǎn)（平衡狀態(tài)） 有關(guān)。 應(yīng)用微偏法，工作范圍不能過大，否則誤差大。到底多大合適，與非線性曲線形狀有關(guān)。 實(shí)際中的控制系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行后，一般都處在平衡點(diǎn)附近。確定了控制系統(tǒng)期望的平衡點(diǎn)后，可以應(yīng)用切線法來解決控制系統(tǒng)的非線性問題。,例 2-7 設(shè)鐵芯線圈電路如圖，其磁通 與線圈中電流 之間關(guān)系 如下圖所示。試列寫亦 為輸入，為輸出的電路微分方程。,解：設(shè)鐵芯線圈磁通變化時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電勢(shì)為,根據(jù)基爾霍

16、夫定律有：,在工程應(yīng)用中，如果電路電壓和電流只在某平衡點(diǎn) 附近做微小變化，則,非線性方程,當(dāng) 足夠小時(shí)，略去高階導(dǎo)數(shù)，,令 ，并略去增量符號(hào) ，便得到,上式便是鐵芯線圈電路在平衡點(diǎn) 的增量線性化微分方程，若平衡點(diǎn)變動(dòng)， 值也應(yīng)該改變。,返回,6.運(yùn)動(dòng)的模態(tài),數(shù)學(xué)上，線性微分方程的解由特解和通解組成，通解由微分方程的特征根所決定，它代表自由運(yùn)動(dòng)。如果n階微分方程的特征根是 且無重根，則把函數(shù) 稱為該微分方程所描述運(yùn)動(dòng)的模態(tài),也叫振型。 每一種模態(tài)代表一種類型的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，齊次微分方程的通解是它們的線性組合，即,如果特征根中有多重實(shí)根 ，則模態(tài)會(huì)具有如 的函數(shù)；如果特征根中有共軛復(fù)根 ，則其具有共軛

17、復(fù)模態(tài) 與 ， 還可寫成實(shí)函數(shù)模態(tài)的形式，即 與,返回,2-2 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域（頻域）數(shù)學(xué)模型,控制系統(tǒng)的微分方程數(shù)學(xué)模型時(shí)域 優(yōu)點(diǎn)： 1.物理意義直觀（各種變量意義明確）； 2.借助電子計(jì)算機(jī)可迅速準(zhǔn)確求解（迭代法）； 缺點(diǎn)：手工求解復(fù)雜。 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型頻域 優(yōu)點(diǎn)： 1.不僅可以用來表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，還可用來研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。（根軌跡法、頻率響應(yīng)法） 2.手工求解簡(jiǎn)單，便于圖解。 缺點(diǎn)：物理意義不直觀。,返回,本節(jié)內(nèi)容： 1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) 2.傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 3.傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響 4.典型元部件的傳遞函數(shù),1.傳遞函數(shù)的定

18、義和性質(zhì),傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,若已知線性定常系統(tǒng)的微分方程為,式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。,設(shè)c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)初始值均為零，對(duì)上式取拉氏變換，得,則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,或?qū)憺?傳遞函數(shù)與輸入、輸出之間的關(guān)系，可用圖表示。,例2-8 試求例2-1 RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),解 RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為：,對(duì)上式各項(xiàng)求拉氏變換（假設(shè)初始狀態(tài)為零），得,傳遞函數(shù)的性質(zhì) 作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，即mn，且所有系數(shù)為實(shí)數(shù)。 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)輸入輸出關(guān)

19、系的表達(dá)式，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與系統(tǒng)的輸入信號(hào)的形式無關(guān)，當(dāng)然也與初始條件無關(guān)。 傳遞函數(shù)只是對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（一種不完全描述，或稱黑箱描述） ，并不完全反映系統(tǒng)的全部?jī)?nèi)部變量，更不反映系統(tǒng)的實(shí)際物理構(gòu)成。 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，是一一對(duì)應(yīng)的，非常容易轉(zhuǎn)換。 傳遞函數(shù)的反拉氏變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,傳遞函數(shù)可表征控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，并用以求出在給定輸入量時(shí)系統(tǒng)的零初始條件響應(yīng)，即由拉式變換的卷積定理，有,是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。,此頁不講,傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義：一是指輸入量是在 時(shí)才作用于系統(tǒng)的，因此，在 時(shí)，輸入量及各階導(dǎo)數(shù)均為零

20、；二是輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在 時(shí)的值也為零，現(xiàn)實(shí)的工程控制系統(tǒng)多屬于此類情況。,零初始條件的定義：,此頁不講,例 2-9 試求例2-2 電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù),解 在例2-2中已經(jīng)獲得電樞控制直流電動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化后的微分方程為,式中，輸入有兩個(gè)，一個(gè)是輸入的電樞電壓 ，另外一個(gè)是負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩 。因此該系統(tǒng)為多輸入單輸出（MISO）系統(tǒng)。,根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可分別求出兩個(gè)輸入分別到輸出的傳遞函數(shù)，以便研究各個(gè)輸入分別作用下對(duì)輸出的影響和性能，將它們疊加后，便是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的響應(yīng)特征。,為求電動(dòng)機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速 與電樞電壓 之間的傳遞函數(shù)，令 ，則有,注

21、：考研題型,在零初始條件下，對(duì)上式各項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，并整理，得到電動(dòng)機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速與輸入電樞電壓之間的傳遞函數(shù)為,同樣，令 得到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩間的傳遞函數(shù),電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速在電樞電壓與負(fù)載轉(zhuǎn)矩同時(shí)作用下的響應(yīng)為,例 2-10 若已知例2-1中RLC網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出傳遞函數(shù)為 初始電壓 和初始電流 ，試求電容電壓 的單位階躍響應(yīng)。注：考研題型,解 若為零初始狀態(tài)，則此題非常易求，即,因非零初始狀態(tài)，此題解法步驟如下： 1.首先利用傳遞函數(shù)與微分方程的相通性，得到系統(tǒng)相應(yīng)的微分方程。 2.考慮初始條件，用拉氏變換法求解微分方程便求得非零初始條件下的解。,由RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) ，可以直接得到網(wǎng)絡(luò)的

22、微分方程為,考慮初始條件，對(duì)上式各項(xiàng)求拉氏變換后得,于是,式中，,對(duì) 求拉氏反變換便得到,式中，右端第一項(xiàng)是電源電壓 激勵(lì)的零初始條件響應(yīng)，第二項(xiàng)是由初始條件 和 激勵(lì)的零輸入響應(yīng)。,返回,2.傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),式中p1，p2pn為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；z1、z2、 zn為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； 零極點(diǎn)可為復(fù)數(shù)也可為實(shí)數(shù)。 系數(shù) 稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。這種用零極點(diǎn)表示傳遞函數(shù)的方法在根軌跡法中使用較多。,傳遞函數(shù)式的分子分母經(jīng)過因式分解后可表示成如下形式（首一式）,在復(fù)平面上，往往用 表示傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，用 表示傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，這樣的圖稱為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分

23、布圖，如下圖。,傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)。,傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式經(jīng)過因式分解也可寫為如下因子連乘積的形式(尾一式）。,式中，一次因子對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，二次因子對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)， 和 稱為時(shí)間常數(shù)， 稱為傳遞系數(shù)或增益。傳遞函數(shù)的這種表示形式在頻率法中使用較多。 注意 兩種增益的換算關(guān)系。,返回,4.典型元部件的傳遞函數(shù),在時(shí)域中已經(jīng)討論了構(gòu)成控制系統(tǒng)的線性元件的微分方程。 同樣，在復(fù)數(shù)域（頻域）中，構(gòu)成控制系統(tǒng)的各個(gè)元部件也有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 研究思路：從典型元部件的微分方程推導(dǎo)出典型元部件的傳遞函數(shù)。 所選典型元部件

24、均比較常見、常用。,電位器（比例環(huán)節(jié)） 電位器是一種把線位移或者角位移轉(zhuǎn)換為電壓量的裝置。測(cè)量元件，常用反饋回路。 電位器的電刷角位移與其輸出電壓之間可看做是簡(jiǎn)單的線性比例關(guān)系，可表示為：,其傳遞函數(shù)為,用方框圖表示為,測(cè)速發(fā)電機(jī)（微分環(huán)節(jié)） 測(cè)速發(fā)電機(jī)是用于測(cè)量角速度并將它轉(zhuǎn)化成電壓量的裝置。測(cè)量元件，常用于反饋回路。 測(cè)速發(fā)電機(jī)在電樞兩端輸出與轉(zhuǎn)子角速度成正比的直流電壓，即,式中， 是轉(zhuǎn)子角位移， 是轉(zhuǎn)子角速度。,其傳遞函數(shù)為,或,電樞控制直流伺服電動(dòng)機(jī)（慣性環(huán)節(jié)） 電樞控制的直流伺服電動(dòng)機(jī)在控制系統(tǒng)中廣泛用于執(zhí)行機(jī)構(gòu)，用來對(duì)被控對(duì)象的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行快速控制。,兩相伺服電動(dòng)機(jī)（與電樞控制直流

25、伺服電動(dòng)機(jī)是相似系統(tǒng)） 兩相伺服電動(dòng)機(jī)具有重量輕、慣性小、加速特性好的有點(diǎn)，是控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種小功率交流執(zhí)行機(jī)構(gòu)。,無源網(wǎng)絡(luò)（積分、慣性、振蕩環(huán)節(jié)） 為了改善控制系統(tǒng)的性能，常在系統(tǒng)中引入無源網(wǎng)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成。 求無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的的兩種方法： 1.微分方程拉氏變換法（推薦）： 首先寫出網(wǎng)絡(luò)的微分方程，然后在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，從而得到輸出變量與輸入變量之間的傳遞函數(shù)。 2. 復(fù)阻抗法：引用復(fù)數(shù)阻抗直接列寫網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程，然后求其傳遞函數(shù)。（詳見電路）,慣性環(huán)節(jié),圖中所示，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，求其傳遞函數(shù)。,式中,積分環(huán)節(jié),上圖為運(yùn)算

26、放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為,式中Ti = RC,圖中所示為RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入為 ，輸出 ，其動(dòng)態(tài)特性方程為,其傳遞函數(shù),式中，,振蕩環(huán)節(jié),具有延遲性質(zhì)的元部件（延遲環(huán)節(jié)） 在實(shí)際生產(chǎn)中，有很多場(chǎng)合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應(yīng)和管道混合過程，多個(gè)設(shè)備串聯(lián)以及測(cè)量裝置系統(tǒng)等。遲延過大往往會(huì)使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。,延遲環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié)),延遲環(huán)節(jié)是輸入信號(hào)加入后，輸出信號(hào)要延遲一段時(shí)間后才重現(xiàn)輸入信號(hào)，其動(dòng)態(tài)方程為,其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越函數(shù),式中稱延遲時(shí)間,典型環(huán)節(jié)小結(jié),注： 拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，控制系統(tǒng)的元部件一般可分為比例、

27、積分、微分、慣性、振蕩、延遲環(huán)節(jié)或幾種環(huán)節(jié)的組合。,返回,2-3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖也是一種數(shù)學(xué)模型。是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便方法。 在控制工程中，為了便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，常將各元部件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來表示，即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（或稱方框圖）和信號(hào)流圖。 與結(jié)構(gòu)圖相比，信號(hào)流圖符號(hào)簡(jiǎn)單，便于繪制和應(yīng)用。但是信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng)的描述。 從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖中可以方便的求得系統(tǒng)的傳遞的函數(shù)。,1.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制 2.結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化 3.信號(hào)流圖的組成及性質(zhì) 4.信號(hào)流圖的繪制 5

28、.梅森增益公式 6.典型反饋控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幾個(gè)基本概念,返回,本節(jié)內(nèi)容,1.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是控制系統(tǒng)組成框圖的具體化（定量）表現(xiàn)。 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成，它包括以下四種基本單元：信號(hào)線、 引出點(diǎn)、 比較點(diǎn)、 方框（或環(huán)節(jié)）,繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，首先列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或者傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。 然后，根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將個(gè)方框連接便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟：,注：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的方框與實(shí)際系統(tǒng)的元部件并非一一對(duì)應(yīng)。（一個(gè)實(shí)際元部件可以用一個(gè)或幾個(gè)方框表示；而一個(gè)方框也可以代

29、表幾個(gè)元部件或者是一個(gè)子系統(tǒng)，或是一個(gè)大的復(fù)雜系統(tǒng)。),例 2-11 下圖所示為一個(gè)電壓測(cè)量裝置，也是一個(gè)反饋控制系統(tǒng)。 是待測(cè)量電壓， 是指示的電壓測(cè)量值。如果 不同于 ，就產(chǎn)生誤差電壓 ， 經(jīng)調(diào)制、放大以后，驅(qū)動(dòng)兩相伺服電動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)測(cè)量指針移動(dòng)，直至 。這時(shí)指針指示的電壓值即是待測(cè)量的電壓值。試?yán)L制該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,電壓測(cè)量裝置原理圖,解 系統(tǒng)由比較電路、機(jī)械調(diào)制器、放大器、兩相伺服電動(dòng)機(jī)及指針機(jī)構(gòu)組成。首先，考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元部件的運(yùn)動(dòng)方程，并在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，有：,比較電路,調(diào)制器,放大器,兩相伺服電動(dòng)機(jī),繩輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),測(cè)量電位器,根據(jù)各元部件在系統(tǒng)中的工作關(guān)系，

30、確定其輸入量和輸出量，并按照各自的運(yùn)動(dòng)方程分別畫出每個(gè)元部件的方框圖。,最后，用信號(hào)線按信號(hào)流向依次將各元部件的方框連起來，便得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。,如果兩相伺服電動(dòng)機(jī)直接以前所學(xué)的簡(jiǎn)化形式表示，則結(jié)構(gòu)圖可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。,實(shí)際上，是虛線框內(nèi)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化。,例 畫出下圖所示無源RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。,解 可將無源網(wǎng)絡(luò)視為一個(gè)系統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的元部件。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫出其微分方程組為,零初始條件下，對(duì)等式兩邊取拉氏變換，得,RC網(wǎng)絡(luò)方框圖,各環(huán)節(jié)方框圖,返回,2.結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化,控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化的目的： 化繁為簡(jiǎn)，求取閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化一般方法：

31、在遵循等效原則的情況下，,結(jié)構(gòu)圖的三種基本運(yùn)算,結(jié)構(gòu)圖的變換,結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化,(1),a.,RC網(wǎng)絡(luò),思考： a圖的電路傳遞函數(shù)是否等于b圖兩個(gè)電路傳遞函數(shù)之積？,兩個(gè)串聯(lián)連接的元件的方框圖應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng)。,b.,c.,(2),應(yīng)該說，結(jié)構(gòu)圖的變換與運(yùn)算是手段； 結(jié)構(gòu)圖的化簡(jiǎn)才是目的。 化簡(jiǎn)的基本原則是：等效原則。,（3）結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化,例 2-14 簡(jiǎn)化圖2-32系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,G1,G2,G3,G4,H3,H2,H1,a,b,請(qǐng)你寫出結(jié)果,行嗎？,比較點(diǎn)后移(注意，不宜前移）-解耦合,比較點(diǎn)移動(dòng),錯(cuò)！,G2,無用功,向同類移動(dòng),G1,作用分解,返回,3.信號(hào)流圖的組成及性質(zhì),信

32、號(hào)流圖是跟結(jié)構(gòu)圖類似的一種圖示模型。 梅森(Mason)（或翻譯為梅遜）較早嘗試,信號(hào)流圖的組成： 它是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。,歐姆定律與信號(hào)流圖,典型的信號(hào)流圖,該信號(hào)流圖由 五個(gè)節(jié)點(diǎn)和八條支路組成。 由上圖，可以得到描述五個(gè)變量因果關(guān)系的一組代數(shù)方程式為：,信號(hào)流圖的基本性質(zhì)：,信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)。 節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，支路相當(dāng)于乘法器。 信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞。 對(duì)于給定系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號(hào)流圖不是唯一的。,信號(hào)流圖中的常用名詞術(shù)語： 源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路，無輸入支路。 阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路，無輸出支路。 混合節(jié)點(diǎn)：既

33、有輸入又有輸出的支路。 前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫做前向通路。前向通路上各支路增益的乘積，稱為前向通路總增益，一般用 表示。 回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號(hào)通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱為單獨(dú)回路，簡(jiǎn)稱回路?；芈分兴兄吩鲆娴某朔e叫做回路增益，用 表示。 不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路叫不接觸回路。,信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化 （結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化規(guī)則同樣適用）,（1）加法規(guī)則（并聯(lián)）：n個(gè)同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之和，如圖(a) 所示：,（2）乘法規(guī)則（串聯(lián)） ：n個(gè)同方向串聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之積，如圖（b）。,（3

34、）混合節(jié)點(diǎn)可以通過移動(dòng)支路的方法消去，如圖（c）。,（4）回環(huán)（反饋）可根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）。,返回,4.信號(hào)流圖的繪制,（1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖 （2）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖,（1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖： 步驟： 列寫控制系統(tǒng)的微分方程； 通過拉氏變換，將微分方程變換為S的代數(shù)方程； 對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列； 根據(jù)數(shù)學(xué)方程式將各個(gè)節(jié)點(diǎn)變量正確連接，并標(biāo)明支路增益，便可得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。,例 2-17 繪制圖2-24的RC無源網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖。,由基爾霍夫定律，列寫網(wǎng)絡(luò)的微分方程如下：,拉氏變換后,按照因

35、果關(guān)系，重新排列：,（2）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖（考研題型）：,例 將圖2-43所示系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖并化簡(jiǎn)求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),解：信號(hào)流圖如圖 (a)所示?；疓1與G2串聯(lián)等效為G1G2支路，G3與G4并聯(lián)等效為G3+G4支路，,如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡(jiǎn)化為 支路，又與G3+G4串聯(lián)，等效為 如圖 (c),進(jìn)而求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為,返回,5.梅森增益公式（mason gain rule),簡(jiǎn)單的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖或者信號(hào)流圖經(jīng)過等效變換簡(jiǎn)化后，可直接求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖或者信號(hào)流圖，等效變換簡(jiǎn)化很繁瑣；此時(shí)宜用梅森公式直接求取傳遞函數(shù)。 本節(jié)不加證明的給出梅森增益公

36、式的結(jié)論與具體用法。并結(jié)合具體例子練習(xí)。,（考研必考，考試重點(diǎn)）,梅森增益公式：,例2-19 試用梅森公式求例2-14(p49)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),我們可直接對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖或者信號(hào)流圖利用梅森公式。,從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)只有一條前向通路，其總增益為 有三個(gè)單獨(dú)回路，回路增益分別是,沒有不接觸回路，且前向通道與所有回路均接觸，故,由梅森增益公式求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,2-21,例 利用梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s) / R(s)。,解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有4條前向通道，對(duì)應(yīng) 與 為 p1=G1G2G3G4G5 1=1 p2=G1G6G4G5 2=1 p3=G1G2G7G5 3=1

37、 p4= -G1G6H2G7G5 4=1,圖中有五個(gè)單回環(huán)，其增益為： L1= -G3H2，L2 = -G5H1， L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3， L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的， 其增益之積,L1L2 = G3G5H1H2,系統(tǒng)的特征式為,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,例 求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù),解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統(tǒng)的特征式 為：,前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2

38、4=1,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,返回,6. 典型反饋控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幾個(gè)基本概念,（考研重點(diǎn)概念與公式）,(a),(b),(c),疊加原理,(d),閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù),拓展（魯棒性）,當(dāng)輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)同時(shí)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出為,上式如果滿足,則可簡(jiǎn)化為,上式表明，在一定條件下，系統(tǒng)的輸出只取決于反饋通路傳遞函數(shù) 及輸入信號(hào) ，與前向通路傳遞函數(shù)無關(guān)，也不受擾動(dòng)作用的影響。特別是當(dāng) ，即單位負(fù)反饋時(shí)， , 從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入信號(hào)的完全復(fù)現(xiàn)，且對(duì)外界擾動(dòng)和內(nèi)部參數(shù)變化引起的控制性能改變具有較強(qiáng)的抑制能力（這種能力可稱為控制系統(tǒng)的魯棒性，Robustness)。,魯棒性定義：控制系統(tǒng)在其特性或參數(shù)發(fā)

39、生攝動(dòng)時(shí)仍可使品質(zhì)指標(biāo)保持不變的性能。魯棒性是英文robustness一詞的音譯，也可意譯為穩(wěn)健性。 魯棒控制是控制理論研究中一個(gè)重要方向。 魯棒與最優(yōu)控制周克敏著,周克敏的兩本學(xué)術(shù)著作Robust and Optimal Control(魯棒與最優(yōu)控制)和Essentials of Robust control(魯棒控制基礎(chǔ))被世界上各大學(xué)廣泛用作研究生教材,其中包括美國麻省理工,斯坦福,柏克利,加州理工學(xué)院等知名大學(xué)?，F(xiàn)在已被SCI引用達(dá)700多次。,愛趣無窮,思考：研究單位（負(fù)）反饋系統(tǒng)的普遍意義,具有普遍意義的單位反饋形式：,等效于研究:,給定和輸出在數(shù)值上相等,2.4 在MATLAB

40、中數(shù)學(xué)模型的表示,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中是相當(dāng)重要的,在線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等,而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來描述線性時(shí)不變系統(tǒng)(Linear Time Invariant簡(jiǎn)記為L(zhǎng)TI)。,1. 傳遞函數(shù),單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,其中mn。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的零點(diǎn),分母多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。令分母多項(xiàng)式等于零,得系統(tǒng)的特征方程:,D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0,因傳遞函數(shù)為多項(xiàng)式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項(xiàng)式的。

41、MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示,行向量元素依次為降冪排列的多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù),例如多項(xiàng)式 P(s)=s3+2s+4 , 其輸入為,P=1 0 2 4,注意盡管s2項(xiàng)系數(shù)為0,但輸入P(s)時(shí)不可缺省0。,MATLAB下多項(xiàng)式乘法處理函數(shù)調(diào)用格式為,C=conv(A,B),例如給定兩個(gè)多項(xiàng)式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應(yīng)先構(gòu)造多項(xiàng)式A(s)和B(s),然后再調(diào)用conv( )函數(shù)來求C(s),A =1,3; B =10,20,3; C = conv(A,B) C = 10 50 63 9 即得出的C(s)多項(xiàng)式為10s3 +50s2 +63s

42、 +9,MATLAB提供的conv( )函數(shù)的調(diào)用允許多級(jí)嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4) 可由下列的語句來輸入,G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4),有了多項(xiàng)式的輸入,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在MATLAB下可由其分子和分母多項(xiàng)式唯一地確定出來,其格式為,sys=tf(num,den),其中num為分子多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式,num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；,對(duì)于其它復(fù)雜的表達(dá)式,如,可由下列語句來輸入,num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6); den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4

43、); G=tf(num,den),Transfer function:,幾個(gè)常用指令：help 幫助 clc 清屏 clear 清理內(nèi)存,2. 傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖,傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對(duì)分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為,roots(p),其中p為多項(xiàng)式。,例如,多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4,p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i,反過來,若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可

44、調(diào)用MATLAB中的poly( )函數(shù),來求得多項(xiàng)式降冪排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例,poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000,而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為,polyval(p,a) 其中p為多項(xiàng)式;a為給定變量值,例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時(shí)值：,n=conv(3,2,1,1,4); value=polyval(n,-5) value=66,p,z=pzmap(num,den) 其中, p傳遞函數(shù)G(s)= num/den的極點(diǎn) z傳遞函數(shù)G(s)= num/den的零點(diǎn) 例如,傳遞函數(shù),傳遞

45、函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖,采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?極點(diǎn)用“”表示。其調(diào)用格式為,用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖,numg=6,0,1; deng=1,3,3,1; z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點(diǎn) p=roots(deng) p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點(diǎn) 1.0000+0.0000i, n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3; numh=conv(n1,n2

46、); denh=conv(d1,conv(d2,d3); printsys(numh,denh),numh/denh=,%H(s)表達(dá)式,num=conv(numg,numh); den=conv(deng,denh); pzmap(num,den) %零極點(diǎn)圖 title(pole-zero Map),零極點(diǎn)圖如圖所示 ：,3. 控制系統(tǒng)的方框圖模型,若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。,a).串聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為 num,den=series(num1,de

47、n1,num2,den2) 其中：,b)并聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATLAB的并聯(lián)函數(shù)parallel( )來實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為,num,den=parallel(num1,den1,num2,den2),其中：,c.反饋,反饋連接如圖所示。使用MATLAB中的feedback( )函數(shù)來實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為,num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign),式中：,sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負(fù)反饋其為1或缺省。,例如 G(s)= , H(s)= ,負(fù)反饋連接。,numg=1,1;deng=1,2; numh=1

48、;denh=1,0; num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den),num/den=,MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡(jiǎn)化多回路方框圖。另外,對(duì)于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop( )函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為,num,den=cloop(num1,den1,sign),4. 控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型,傳遞函數(shù)可以是時(shí)間常數(shù)形式,也可以是零極點(diǎn)形式,零極點(diǎn)形式是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母進(jìn)行因式分解得到的。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型之

49、間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為,z,p,k= tf2zp(num,den) num,den= zp2tf(z,p,k),其中第一個(gè)函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)表示形式,而第二個(gè)函數(shù)可將零極點(diǎn)表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。,例如 G(s)=,用MATLAB語句表示：,num=12 24 12 20;den=2 4 6 2 2; z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i,p=0.95671.2272i 0.95671.2272i 0.04330.6412i 0.04330.6412i k=6,即變換后的零極點(diǎn)模型為 G(

50、s)=,可以驗(yàn)證MATLAB的轉(zhuǎn)換函數(shù),調(diào)用zp2tf()函數(shù)將得到原傳遞函數(shù)模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000,即,5. 狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)特性的又一種數(shù)學(xué)模型,它由狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t),式中 x(t)Rn 稱為狀態(tài)向量,n為系統(tǒng)階次;,ARnn 稱為系統(tǒng)矩陣; BRnp 稱為控制矩陣,p為輸入量個(gè)數(shù); CRqn 稱為輸出矩陣;

51、 DRqp 稱為連接矩陣,q為輸出量個(gè)數(shù)。,在一般情況下,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式項(xiàng)簡(jiǎn)記為(A,B,C,D)。,例如：設(shè)一個(gè)雙輸入雙輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,系統(tǒng)模型可由MATLAB命令直觀地表示：,A=1,2,4;3,2,6;0,1,5 B=4,6;2,2;0,2 C=0,0,1;0,2,0 D= zeros(2,2),MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了由狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)或由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換函數(shù)ss2tf( )和tf2ss( )。其調(diào)用格式為,num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu),反過來,若已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù),求取系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的調(diào)用格式為

52、A,B,C,D=tf2ss(num,den),例如系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,num=1,2,3; den=1,3,6,1; A,B,C,D=tf2ss(num,den),A= -3 -6 -1 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C = 1 2 3 D = 0,2-5 本章小結(jié),2-6 控制系統(tǒng)建模實(shí)例,例2-24 電力牽引電機(jī)控制 大部分現(xiàn)代列車和調(diào)度機(jī)車都采用電力牽引電機(jī)。牽引電機(jī)牽引軌道車輛系統(tǒng)的原理框圖如圖所示，其中電樞控制電機(jī)采用大功率直流電機(jī)，其參數(shù)如表所示；功率放大器采用差分放大器。要求建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并適當(dāng)選擇差分放大器的電阻

53、。,解：選擇轉(zhuǎn)速計(jì)來產(chǎn)生一個(gè)與輸出速度成比例的電壓，并將它作為差分放大器的一個(gè)輸入，構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)（還包含一個(gè)速度反饋）。,（1）功率放大器是非線性的，可近似表示成指數(shù)函數(shù)：,其正常工作點(diǎn)為 。 利用小偏差線性化的方法，可得,以小增量為新的變量，省去符號(hào) ，經(jīng)拉氏變換后得,（2）對(duì)于差分放大器，有,通常，希望控制輸入電壓 在數(shù)值上與預(yù)期速度 相等，注意到車輛在穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)有 ，于是車輛穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)有，,理想情況下，此時(shí),當(dāng)時(shí) ，選擇 求出,（3）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示,利用結(jié)構(gòu)圖可以獲得相應(yīng)的信號(hào)流圖，利用梅森公式，可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（可近似看做是一個(gè)二階系統(tǒng)）：,Matlab文本： Sys=t

54、f(2700,1,1.25,2700.75) Step(Sys),磁盤驅(qū)動(dòng)讀取控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 第一章 磁盤驅(qū)動(dòng)器廣泛用于各類計(jì)算機(jī)中，是控制工程的一個(gè)重要應(yīng)用實(shí)例。磁盤驅(qū)動(dòng)器讀取裝置的目標(biāo)是將磁頭準(zhǔn)確定位，以便正確讀取磁盤上磁道的信息，因此需要進(jìn)行精確控制的變量是安裝在滑動(dòng)簧片上的磁頭位置。磁盤轉(zhuǎn)速在18007200r/min，磁頭位置精度要求為1 ，且磁頭由磁道a移動(dòng)到磁道b的時(shí)間小于50ms.,To be continued,第二章 例 2-25 在第一章的基礎(chǔ)上，要求指出執(zhí)行機(jī)構(gòu)、傳感器和控制器，然后建立控制對(duì)象和傳感器等元部件的數(shù)學(xué)模型。 解：磁盤驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng)采用永磁直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)讀取手臂

55、（教材圖），磁頭安裝在一個(gè)與手臂相連的簧片上，磁頭讀取磁盤上個(gè)點(diǎn)處不同的磁通量，并將信號(hào)提供給放大器。彈性金屬制成的簧片保證磁頭以小于100nm的間隙懸浮于磁盤之上。 磁盤驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng)框圖如下圖所示：,其中，偏差信號(hào)是在磁頭讀取磁盤上預(yù)先錄制索引軌道時(shí)產(chǎn)生的。假定磁頭足夠精確，取傳感器環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為；放大器增益為；永磁直流電機(jī)模型為,假定簧片是完全剛性的，不會(huì)出現(xiàn)明顯彎曲，則磁盤驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng)的模型如下：,根據(jù)磁盤讀取系統(tǒng)的典型參數(shù)（教材表），可得,上式還可以改寫為：,其中， 。由于 ，常常略去 ，可得,利用 的二階近似表示，該磁盤驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,當(dāng)取時(shí) ，有 ，若令 ，即 時(shí)， 使用matlab的函數(shù)step,可得該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。如下圖。,Matlab 文本： Ka=40; G=zpk(,0,-20,5); Sys=feedback(Ka*G,1) t=0:0.01:1; y=0.1*step(Sys,t) plot(t,y),To be continued,