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1、向量空間的基與維數(shù) 結(jié)論1設(shè)：.】％-- 二 ：-：：：：,：." 七三 當(dāng)下述三個(gè)條件有兩條滿足時(shí)，｛：._：.： :._「｝就是V的一 個(gè)基. (i) 土線性無關(guān)=零向量可由:七唯一地線性表示； (ii) V中每個(gè)向量都可由七唯一地線性表示； (iii) s = n. 結(jié)論2設(shè)-["I都是F上向量空間V的子空間.若3：" "3，=「?： :"8，則 例1設(shè)「_和「：都是數(shù)域，且―二圣，則F：是「_上的向量空間. 域F是F上向量空間，基是｛1｝，二％「=_ C是R向量空間，｛ 1 , i｝是基，工t =-. R是有理數(shù)域上的無限維向量空間，這是因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)t，二2『

2、 三是線性無關(guān)的，這 里八"二】：.._：： 1 . 令」：—"""a 二.，則F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)是Q上的向量空間. 1) 1, 線性無關(guān)： 設(shè) ?:， ；._；.：.則 ?.：(否則 :"， --=,矛盾)，因此 -■■... 2) 1廣，?：線性無關(guān)： 設(shè)，一；..：?二一 ；.；? 了二：，K：三〔，i=1,2,3 . ；_ ； ： T = - / ： 7, 兩端平方得■ : - 1 二..；?.： -二?.： = 3/： 以一：* — SZ：-二"、T=:, 由于1,?了線性無關(guān)，故 假如二：，則;?.：二：，且二_M =:, m二二矛盾. 因而;?._ = :?故

3、!/： - 3/：二：,假如―：，則得?'二亍，這與? t是無理數(shù)相矛盾.因而;?.：二:. 將=:代入(1)，便得七二：,這說明1,：，?三線性無關(guān). 3) 1廣廣,*線性無關(guān): 設(shè)；?.. 一 ；?.：?[—；?.；? 7 -；」?三二：，K：三[，i=1,2,3,4 .則有 一 一 ：■」?_ . ( 2 ) 假如勺二不全為零，則 得到“ 1,：，二線性相關(guān)”的結(jié)論，矛盾.所以上與上應(yīng)全為零，將；.q.=:代入(2)得 ki +灼龍=0. 又由1,?了線性無關(guān)得；?._二；?.：二:.這樣，我們證得了 1,匚，；,e線性無關(guān). 例2 C[a,b]={f(x)|f(

4、x)是定義在[a,b]上的連續(xù)實(shí)函數(shù)}. C[a,b]是R上的向量空間. 二的二二.'二(3) 取n+1個(gè)實(shí)數(shù)"：：：：?.__，使 a已：_：：：：： ：：： '：：：：?.__ ￡b. 由⑶知 kD + k1q + k3c12+ - + ^0^= 0 K + 灼。1+1 + 品篇+ ■" +^ncn+L = ° 其中 而 = r.：：：：:■--::=:.用左乘⑷兩端，得 虬=虹二嶼=-= kn+L = 0 這說明】"：：線性無關(guān). 故C[a,b]是R上無限維向量空間. 引理 設(shè)V是F上向量空間，…：是V的子空間，-：=V，i=1,2,…,s.試證明一」-

5、；二--, 證 對(duì)s作數(shù)學(xué)歸納. 當(dāng)s=1時(shí)，結(jié)論顯然成立. 設(shè)且對(duì)s -】個(gè)V的不等于V的子空間結(jié)論成立. 下考慮V的子空間一 一：，-?:二二■二J.由歸納假設(shè)知.7. : = ■故存在 1） 當(dāng):.三一、時(shí)，：.三 _L_' ■:，故 ■:="； 2） 當(dāng):.三-?時(shí)，由于-\二--，因此非三顯然」□,"□,???,—□三二.且存在三羊 3：， 使（否則，如果:-a ,」3 ,…，—SU 三 _ ：二-?：，二?. M ：二 二，；， 三、：二 ;-!：,使—.d,"K三-：，所以—皿＞ ._-，即有? z -.，這與。三一二一:矛盾）.這樣 3 三上「"，故-J—=".

6、 例3設(shè)=?；-二「，：.存在集合二",使S含無窮多個(gè)向量，且S中任意n個(gè)不同的向量都是V 的一個(gè)基. 證 取 V 的一個(gè)基：._ ：.： -■：-.，令S' 二二二_ :.：:.：』.對(duì)任意:三從：：.：：中刪 去：.:后剩下的n - ：個(gè)向量生成的V的子空間記為「，則■:二n -1. 由引理知，一 ：=_-；=--，故存在 令S'："、：" .一，危-中任n個(gè)不同的向量線性無關(guān)，是V的基. 設(shè)nn、，有S':="，且;*中任意n個(gè)不同的向量構(gòu)成V的一個(gè)基. 對(duì)任意n _ "： ：：： ￡ ---.，有 -. 這樣的子空間共有，一個(gè).由引理知 U ￡（咆沔尸如于V 存在

7、 農(nóng)+3V- U ￡（0吼”《1） E-—L"：.：.._.：.貝0^- |=k+1,且S'I中任意n個(gè)不同的向量是V的基. 這個(gè)過程進(jìn)行下去，滿足條件的無限集S即可找到. 另證：設(shè)二：：.二是V的一個(gè)基，令 S = （nL + kas + k2n:a + ■■- + k e F）. 令 :- ；.：.：--- -二" 讓七；:：,三F互不相同，則 I ■■ n n* 1 n* g 1 "a is. q （眼隊(duì)，，…電）=（隊(duì)&，，，“O 蛤 蜓，■， y \k?-- k?- - kS-1/ 由于 / 1 1 ... 1 ka ks ... kn 其行列式是V

8、andermonde行列式，即 detT=門（kj—ki）H 0. gj 故圣.線性無關(guān)，是V的一個(gè)基.S中含無窮多個(gè)向量. 例4 設(shè)一；是F上n（＞0）維向量空間V的子空間，且「二--i=1,2,3,...,s.則存在V的一個(gè)基，使 得該基中每一個(gè)向量都不在-J—中. 證：對(duì)s作數(shù)學(xué)歸納. 當(dāng)e二：時(shí)，取-；的一個(gè)基:::.」，】?"，將其擴(kuò)充為V的一個(gè)基:.：』.可證 明出- - :線性無關(guān)，是 V 的基，且三'\ , i=1,2,...,r, ar+1,%丘性, 設(shè);：：=!，且對(duì)s-】個(gè)V的子空間結(jié)論成立.現(xiàn)考慮V的s個(gè)子空間".,二，，，".， ■二 S,由歸納

9、假設(shè)知存在V的一個(gè)基二一圣,■■；-.：,使 邠P(yáng)n}n(OWi)=0 1)如果 :.遢-二，那么 I-即滿足要求； 2)如果 三圣，二.不妨設(shè)「G , L?一一 , -由 LU： 最多有一個(gè)F中的數(shù)，使 "-；.！.，】已?已(否則，如果有兩個(gè)不同的數(shù)，，使 "-?*..，"-；.?*則；二，故 八，矛盾)，所以除可能的 之外，F(xiàn)中有非零數(shù)，使 ：二二上一切同理有F中非零數(shù) ：二：，使 p2 + m邠n」pr+ rUpPn 丘 UJ" 顯然二-：二上 W- ：n：L. ' ■；.易證-/：■. - :：- - - ：＜：■. 二線 性無關(guān)，是V的基，且滿足要求. 例5 設(shè)

10、W是二..-的由全體形如三一三 E三：■：；■,-的向量所生成的子空間,證明 dimW= n2 - 1. 證 二一二一 一上己二一二-s 蘭"-一：圣三「 ：?.：三「：二二 ;：. 令 / = \ Ejj = 1 (0 \ l / (j) 是第i行第j列位置元素是1，而其余的必-：個(gè)元素全是零的n階方陣. 對(duì)、",岸 t,二二三：二：-三二一三…, I °\ 對(duì) j E {L2n - 1}, EjnEnj — EnjEjn = ° 1 (j) ￡ W. .0 v "—J (j) 容易驗(yàn)證n : = [}一三.：..三：...-三：...三.：.. ?

11、二二 ：■.-!：是線性無關(guān)的(共:「- ：個(gè)向量) 故而W中每個(gè)矩陣其跡為0.因此■■ = "，故上n - ?二：「- 1 引理設(shè)二二二是向量空間V的子空間，則 (i) ―二-?：="二 (ii) R，〕+ ｛匕尸』〕匚｛R：+ n Ra. 6設(shè)■■■■...■■. 是F上向量空間V的子空間. (i) 證明: dim GVj + W3 + WE) < dim Wt - ￡ dim n Wj) + dim n W2 n WE)； i=i (ii)舉一個(gè)例子，使上述嚴(yán)格不等式成立. 證 (i)二]n _ -:：=二】n -.:-二】n [ - ' ■:

12、 =_ - ：-. [-; - .一： - ' ■: < ￡ J dim 一 dim (W, n W2) 一 dim ((W, n WE) + (W2 n WE)) =Z L ' ■:-二二-二:n】-:…、二- =二.■: -z.2：::二二二- 二:二.：：. (ii)在7■「中，令-[=' ■: = -】二 "一二 w3 ={0}， w n w n w =={0}，此時(shí) w + w + w =-'-- (1, 0，0) ,(-1,0,1)),而 w n w = w n w = w n 1 2 3 1 2 2 3 1 dim ￡ w =2<3= dim ￡ w — ￡

13、dim(w n w)+dim( w n w n w ). i i i j 1 2 3 i=1 i=1 1< i < j < n 例 7 設(shè) A e M (F) ,B e M (F).令 w0 ={ a e Fn | AB a = 0 } (B a I a e w }, 求證w 是Fm的子空間，且dim w =秩B-秩(AB). 證顯然0 ] e w0,故 B 0 = 0 e w ,即 w ^ 0 w ,Ba ,Ba 是w的任意向量， 0 1 2 AB( a a + a a 2 2 )=a ABa + a ABa =0, :.B( a

14、 a + a a ) e w n a Ba + a Ba e w 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 , 因而w是Fm的子空間. 1 同解.因此wi ={0},故dim wi =0=秩 10當(dāng)秩B=秩(AB)時(shí)，齊次線性方程組AB X 1 = 0 1與B X廣0】 B 一秩(AB). 2。以下我們假設(shè)秩B>秩(AB),ABX=O與BX=O不是同解的. w白0｝. 0 1 1)秩 B=n. 此時(shí)w M。｝,設(shè)邛，。，.弗｝為w的一個(gè)基， 0 12 t Q 其中 t=n-秩(AB).則有, Bp , ...Bp ). 1 1 2 t 設(shè)Z? B。+Z? BP +...+

15、b Bp =0,bi eF,i=l,2,...t. 112 2 t t 則 B(Z? p +b p +...+ b p )=0,而 BY=0 只有零解, 11 2 2 t t 故b P +Z? p +...+b P =0,又 |3 , p , ...p 線性無關(guān).所以bi=0, i=l,2,...n. 11 2 2 t t 1 2 t 這說明｛B。, BP , ...Bp ｝是巧的一個(gè)基. 1 2 t i dimw =t=n-秩(AB)二秩 B-秩(AB), i 2)秩 B0.

16、 0 mxl 0 nxl mxl 0 顯然叫c W 0 0 ? 由于我們事先假設(shè)了秩BW秩(AB),所以”5.設(shè)邛，P , ...p ｝是布的一個(gè)基.P=n-秩B>0. 0 0 12 P 0 擴(kuò)充成w 的一個(gè)基，P , P , P ,p , p , t=n-秩(AB). 0 12 P p+1 t 而w =^(Bp , B0 , ...B(3 ,B｛3 , ...,Bp )=￡ (BP , ...,BP ). 1 12 P p+1 t p+1 t 設(shè) b =0, b e F, j=p+l,...,t. J j j E，+i 則 B( S Z? p )=0. J J y=p+i

17、即2L Z? p g w,故存在Z? ，…,b g F,使 Z/pp =X 卯 j j o 1 2 P j j i i y = p+l J=P+1 z=l ? X z? p + ￡(-Z? )p =0. i i J j ,=1 j=p+l 而 p , p , ... p ,P , P 線性無關(guān)，所以力=0, k=l,2?...,t; 1 2 P p+l t k 這說明Bp ,BP ，…,Bp線性無關(guān)，是w的一個(gè)基. p+1 p+2 t 1 因此 dim w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩 B]二秩 B-秩(AB). 例8設(shè)w , w是向量空間v的子空間，且dim(w + w )=dim(w c w )+1 1 2 12 12 證明，下述兩條必有一條成立： (i) w + w = w , w c w = w ; 12 11 2 2 (ii) w + w = w , w c w = w . 12 2 1 2 1