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1、第二節(jié)第二節(jié) 概率的直觀定義概率的直觀定義一一.統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率nmAfAnmnAn)(,出現(xiàn)的頻率次試驗中事件在則次次試驗中出現(xiàn)了在隨機(jī)事件頻率頻率 在充分多次試驗中，事件的頻率總在充分多次試驗中，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，越多，一般來說一般來說擺動越小擺動越小.這個性質(zhì)叫這個性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性做頻率的穩(wěn)定性.頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性請看書中請看書中P8附表附表 頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小可能性大小.盡管每進(jìn)行一連串（盡管每進(jìn)行一連串（n次）試次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，但只要驗

2、，所得到的頻率可以各不相同，但只要 n相當(dāng)大，頻率與概率是會非常接近的相當(dāng)大，頻率與概率是會非常接近的.因此，因此，概率是可以通過頻率來概率是可以通過頻率來“測量測量”的的,頻率是概率的一個近似頻率是概率的一個近似.頻率頻率概率概率 這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)值開拓了道路值開拓了道路.出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值，率作為概率的估計值，這種確定概率的方法稱為這種確定概率的方法稱為頻率方法頻率方法.在實際中，當(dāng)概率不易求在實際中，當(dāng)概率不易求統(tǒng)統(tǒng)計計概概率率稱此概率為稱此概率為定義定義1.2.1(概

3、率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義):)()()(nmnmAfAPpn設(shè)在相同條件下對設(shè)在相同條件下對E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n次試驗，其次試驗，其中事件中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m次。當(dāng)試驗次數(shù)次。當(dāng)試驗次數(shù)n充分大時，充分大時，事件事件A出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率 的穩(wěn)定值的穩(wěn)定值p,稱為事件稱為事件A的概率，記為的概率，記為P(A)，即，即nmAfn)(例如，若我們希望知道某射手中靶的例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對這個射手在同樣條件下大量概率，應(yīng)對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)行觀察記錄射擊情況進(jìn)行觀察記錄.若他射擊若他射擊n發(fā)，中靶發(fā)，中靶m發(fā)，當(dāng)發(fā)，當(dāng)n很大時，可很大時，可用用頻率頻率m/n作為他

4、中作為他中靶概率的估計靶概率的估計.概率的概率的 基本性質(zhì)：基本性質(zhì)：1.非負(fù)性：對任意的隨機(jī)事件非負(fù)性：對任意的隨機(jī)事件A，有，有1)(0AP2.規(guī)范性：規(guī)范性：1)(PA、古典概型、古典概型 假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果 假定從該試驗的條件及實施方法上去分假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如例如ei，比任一其它結(jié)果，例如比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢，更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會，即能的出現(xiàn)機(jī)會，即1/N的出

5、現(xiàn)機(jī)會的出現(xiàn)機(jī)會.e1,e2,，eN,二二.古典概型古典概型常常把這樣的試驗結(jié)果稱為常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的等可能的”.e1,e2,，eN 試驗結(jié)果試驗結(jié)果你認(rèn)為哪個你認(rèn)為哪個結(jié)果出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？可能性大？稱這樣一類隨機(jī)試驗為稱這樣一類隨機(jī)試驗為古典概型古典概型.3479108615且每個樣本點且每個樣本點(或者說基本或者說基本事件事件)出現(xiàn)的可能性相同出現(xiàn)的可能性相同.則該試驗的樣本空間則該試驗的樣本空間例如，一個袋子中裝有例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全個大小、形狀完全相同的球相同的球.將球編號為將球編號為110，從中任取一球，從中任取一球.我們用我們用 表示取

6、到表示取到 i號球，號球，i=1,2,10.i,102110個球中的任一個被取出的機(jī)會都是個球中的任一個被取出的機(jī)會都是1/10 稱這種試驗為稱這種試驗為有窮等可能隨機(jī)試驗有窮等可能隨機(jī)試驗 或或古典概型古典概型.定義定義1.2.2(概率的古典定義概率的古典定義)若隨機(jī)試驗滿足下述兩個條件：若隨機(jī)試驗滿足下述兩個條件：(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；它的樣本空間只有有限多個樣本點；(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.B、古典概型中事件概率的計算、古典概型中事件概率的計算記記 A=摸到摸到2號球號球 P(A)=?P(A)=1/10記記 B=摸到紅球摸到紅球 P(B)

7、=?P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6這里實際上是從這里實際上是從“比例比例”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“概率概率”記記 B=摸到紅球摸到紅球 P(B)=6/10靜態(tài)動態(tài) 當(dāng)我們要求當(dāng)我們要求“摸到紅摸到紅球球”的概率時，只要找出的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例.2 3479108615這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題計數(shù)問題.定義定義2 設(shè)試驗設(shè)試驗E是是古典概型古典概型,其樣本空間其樣本空間S由由n個樣本點組成個樣本點組成,事件事件A由由k個樣本點組成個樣本點組成.則定則定義事件義事件A的概率為：的概率為：稱此概率為稱此概率為

8、古典概率古典概率.這種確定概率的方法這種確定概率的方法稱為稱為古典方法古典方法.A包含的樣本點數(shù)包含的樣本點數(shù) P(A)k/n S中的樣本點總數(shù)中的樣本點總數(shù)排列組合是計算古典概率的重要工具排列組合是計算古典概率的重要工具.基本計數(shù)原理基本計數(shù)原理 這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計算古典概率這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計算古典概率所用到的所用到的1.加法原理加法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m種方式，種方式，第一種方式有第一種方式有n1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n2種方法種方法,；第第m種方式有種方式有nm種方法種方法,無論通過哪種方法都可以無論通過哪種方法都可以完成這件事，完成這件事，則完

9、成這件事總共則完成這件事總共有有n1+n2+nm 種方法種方法.例如，某人要從甲地到乙地去例如，某人要從甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火車可以乘火車,也可以乘輪船也可以乘輪船.火車有兩班火車有兩班輪船有三班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3+2 種方法種方法回答是回答是基本計數(shù)原理基本計數(shù)原理則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法.mnnn212.乘法原理乘法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m個步驟，個步驟，第一個步驟有第一個步驟有n1種方法，種方法，第二個步驟有第二個步驟有n2種方法種方法,；第第m個步驟有個步驟

10、有nm種方法種方法,必須通過每一步驟必須通過每一步驟,才算完成這件事，才算完成這件事，例如，若一個男人有三頂帽子和兩例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？件背心，問他可以有多少種打扮？可以有可以有 種打扮種打扮23 加法原理和乘法原理是兩個很重要加法原理和乘法原理是兩個很重要計數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少計數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時也是推導(dǎo)下面常用排列具體問題，同時也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ)組合公式的基礎(chǔ).C、排列、組合的幾個簡單公式、排列、組合的幾個簡單公式排列和組合的區(qū)別：排列和組合的區(qū)別：順序不同是順序不同是不同的排列不同的排列3把不

11、同的鑰匙的把不同的鑰匙的6種排列種排列而組合不管而組合不管順序順序從從3個元素取出個元素取出2個個的排列總數(shù)有的排列總數(shù)有6種種從從3個元素取出個元素取出2個個的組合總數(shù)有的組合總數(shù)有3種種623P323C1)、從、從n個不同元素取個不同元素取 k個個（1 k n)的不同排列總數(shù)為：的不同排列總數(shù)為：2）、）、k=n時稱為全排列時稱為全排列!)(nnnnpPnnn1221排列、組合的幾個簡單公式排列、組合的幾個簡單公式)!(!)()(knnknnnnpkn1211、排列、排列:ABDC例如：例如：n=4,k=3第第1次選取次選取第第2次選取次選取第第3次選取次選取BDCBCDBDC242343

12、4P2412344P3）、從）、從n個不同元素取個不同元素取 k個（允許重復(fù)）個（允許重復(fù)）（1 k n)的不同排列總數(shù)為：的不同排列總數(shù)為：knnnn 例如：從裝有例如：從裝有4張卡片的盒中張卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3張張3241n=4,k=3123第第1張張4123第第2張張4123第第3張張4共有共有4.4.4=43種可能取法種可能取法!)!(!kknnkPCknkn2、組合、組合:從從n個不同元素取個不同元素取 k個個（1 k n)的不同組合總數(shù)為：的不同組合總數(shù)為：knC常記作常記作kn，稱為組合系數(shù)。，稱為組合系數(shù)。!kCPknkn你能證明嗎？你能證明嗎？組合系數(shù)組合系數(shù)

13、 又常稱為二項式系數(shù)，因為又常稱為二項式系數(shù)，因為它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中：它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中：knC3、組合系數(shù)與二項式展開的關(guān)系、組合系數(shù)與二項式展開的關(guān)系knknkknnbaCba0)(4、n個不同元素分為個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目組，各組元素數(shù)目分別為分別為r1,r2,rk的分法總數(shù)為的分法總數(shù)為nrrrrrrnkk2121,!r1個個元素元素r2個個元素元素rk個個元素元素n個元素個元素kkrrrrnrnCCC211!21krrrn因為因為請回答：請回答：對排列組合，我們介紹了幾個計算公式對排列組合，我們介紹了幾個計算公式？排列排列：選排列，全排列，選排列

14、，全排列，下面我們就用這些公式來計算下面我們就用這些公式來計算.分組分配分組分配.組合；組合；允許重復(fù)的排列允許重復(fù)的排列;D、古典概率計算舉例、古典概率計算舉例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七個字母分七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：C ISN C EE問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚

15、至懷疑是一種魔術(shù)？是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個概率很小，這里算出的概率有如這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：下的實際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試如果多次重復(fù)這一抽卡試驗，則我們所關(guān)心的事件在驗，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗中次試驗中大約出現(xiàn)大約出現(xiàn)1次次.42200079.012601!74p解：七個字母的排列總數(shù)為解：七個字母的排列總數(shù)為7！這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這中就發(fā)生了，人們有比較大的

16、把握懷疑這是魔術(shù)是魔術(shù).具體地說，可以具體地說，可以99.9%的把握懷疑這的把握懷疑這是魔術(shù)是魔術(shù).解：解：=0.3024允許重復(fù)的排列允許重復(fù)的排列問：問：錯在何處？錯在何處？例例2 某城市的電話號碼由某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率的概率.計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同.從從10個不同數(shù)字中個不同數(shù)字中取取5個的排列個的排列551010Pp 551010C

17、p 例例3 設(shè)有設(shè)有N件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中有其中有M件次品件次品,現(xiàn)從這現(xiàn)從這N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.這是一種無放回抽樣這是一種無放回抽樣.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？nNknMNkMCCCBP)(次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法總數(shù)為的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為的分法數(shù)為n!,故故nnn2)!2(!2!2!2)!2()!2(2!2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n雙相異的鞋共雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成只，隨機(jī)地分成n堆，堆，每堆

18、每堆2只只.問問:“各堆都自成一雙鞋各堆都自成一雙鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？“等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點是等可能的以認(rèn)為各基本事件或樣本點是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時必須注意、在應(yīng)用古典概型時必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件.需要注意的是：需要注意的是：在許多場合，在許多場合，由對稱性和均衡性，由對稱性和均衡性，我我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計算事件的概率基礎(chǔ)上計算事件的概率.2、

19、在用排列組合公式計算古典概率時，必須、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只只鞋子中鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？下面的算法錯在哪里？下面的算法錯在哪里？4102815)(CCCAP錯在同樣的錯在同樣的“4只配只配成兩雙成兩雙”算了兩次算了兩次.97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只只鞋子

20、中鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？正確的答案是：正確的答案是：請思考：請思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.410252815)(CCCCAP3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：一類型：有有n個人，每個人都以相同的概率個人，每個人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在被分在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率間房中

21、各有一人的概率.人人房房(參見書中參見書中P10例例1.2.5)3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：一類型：有有n個旅客，乘火車途經(jīng)個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，設(shè)每個車站，設(shè)每個人在每站下車的概率為個人在每站下車的概率為1/N(N n)，求指，求指定的定的n個站各有一人下車的概率個站各有一人下車的概率.旅客旅客車站車站3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：一類型：某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍求每天恰好發(fā)生

22、一次車禍的概率的概率.車禍車禍天天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí)你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的夠的.把等可能推廣到無限個樣本點場合把等可能推廣到無限個樣本點場合,人們?nèi)藗円肓艘肓藥缀胃判蛶缀胃判?由此形成了確定概率的另由此形成了確定概率的另一方法一方法幾何方法幾何方法.三、幾三、幾 何何 概概 率率幾何概型的特點：幾何概型的特點：1、有限區(qū)域、無限樣本點：、有限區(qū)域、無限樣本點：試驗的所有可能結(jié)果為無窮多個樣本點，試驗的所有可能結(jié)果為

23、無窮多個樣本點，但其樣本空間表現(xiàn)為某一幾何區(qū)域（直但其樣本空間表現(xiàn)為某一幾何區(qū)域（直 線、平面或三維空間）時為有限區(qū)域。線、平面或三維空間）時為有限區(qū)域。2、等可能性：、等可能性：試驗中各基本事件出現(xiàn)的可能性相同，試驗中各基本事件出現(xiàn)的可能性相同，且任意兩個基本事件不可能同時發(fā)生。且任意兩個基本事件不可能同時發(fā)生。例如：在一個面積為例如：在一個面積為的區(qū)域隨機(jī)地投擲一的區(qū)域隨機(jī)地投擲一點點 M,即點即點M落在落在中的任意位置都是等可中的任意位置都是等可能的，求點能的，求點M落入落入內(nèi)的區(qū)域內(nèi)的區(qū)域A的概率。的概率。A此為幾何概型。此為幾何概型。求法：求法：的面積的面積ASSAPA)(（*）幾何

24、方法的要點是：幾何方法的要點是：1、向區(qū)域、向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點，這里上隨機(jī)投擲一點，這里“隨機(jī)隨機(jī)投擲一點投擲一點”的含義是指該點落入的含義是指該點落入 內(nèi)任何內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān)無關(guān).2、假如樣本空間、假如樣本空間可用一線段，或空間中某可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向個區(qū)域表示，并且向上上隨機(jī)投擲一點隨機(jī)投擲一點的含的含義如前述，則事件義如前述，則事件A的概率仍可用（的概率仍可用（*）式確）式確定，只不過把面積改為長度或體積即可定，只不過把面積改為長

25、度或體積即可.定義定義1.2.3(概率的幾何定義概率的幾何定義)在幾何概型試驗中，設(shè)樣本空間為在幾何概型試驗中，設(shè)樣本空間為，事，事件件 ，則事件，則事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為A的幾何度量的幾何度量ASSAPA)(其中幾何度量指長度、面積、體積等。其中幾何度量指長度、面積、體積等。例例1 某人打開收音機(jī)，想聽電臺整點報時，某人打開收音機(jī)，想聽電臺整點報時，問他等待的時間小于問他等待的時間小于1刻鐘的概率是多少？刻鐘的概率是多少？例例2 甲、乙兩人相約甲、乙兩人相約7點至八點之間在某地點至八點之間在某地會面，先到者等候另一個會面，先到者等候另一個20分鐘，過時分鐘，過時方可離去。若每人可在指定的一小時內(nèi)方可離去。若每人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá)，計算兩人能夠會面的概任意時刻到達(dá)，計算兩人能夠會面的概率。率。實際上，許多隨機(jī)試驗的結(jié)果并不都實際上，許多隨機(jī)試驗的結(jié)果并不都是有限個，而且，即使是有限個，也未必是有限個，而且，即使是有限個，也未必是等可能的是等可能的.而幾何方法的正確運(yùn)用，有賴于而幾何方法的正確運(yùn)用，有賴于“等等可能性可能性”的正確規(guī)定的正確規(guī)定.