《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[6]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[6]（97頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布第七章第七章 參數(shù)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)）參數(shù)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)）第八章第八章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) （均值、方差的檢驗(yàn)；分布擬合檢驗(yàn)）（均值、方差的檢驗(yàn)；分布擬合檢驗(yàn)）第九章第九章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：排列與組合排列

2、與組合54321!5,321!.1 例例如如階階乘乘nn排列排列.2種種排排法法個(gè)個(gè)排排列列共共有有個(gè)個(gè)選選從從選選排排列列knknAknnknAa )!(!)(knAknnknnnn )!(!)1()2)(1(種種排排法法個(gè)個(gè)，排排列列共共有有個(gè)個(gè)中中選選或或全全排排列列nnnAnnnAPb!)(放放回回）每每次次取取一一個(gè)個(gè)，取取后后不不（1回回）每次取一個(gè)，取后放）每次取一個(gè)，取后放（2種排列法種排列法個(gè)排列共有個(gè)排列共有個(gè)中取個(gè)中取knkn（不放回有序抽樣）（不放回有序抽樣）（放回有序抽樣）（放回有序抽樣）組合組合.3種種取取法法個(gè)個(gè)共共有有個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素選選)!(!knkn

3、kAknCknkn （不放回?zé)o序抽樣）（不放回?zé)o序抽樣）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6舉例：舉例：求排列或組合數(shù)求排列或組合數(shù)例例1 班級(jí)共有班級(jí)共有42個(gè)學(xué)生分三組，每組個(gè)學(xué)生分三組，每組14人，現(xiàn)人，現(xiàn)在每組中任意取在每組中任意取3人。人。(1)3人來(lái)自第一組人來(lái)自第一組；（2）3人來(lái)自同一組；人來(lái)自同一組；（3）3人均來(lái)自不同組；人均來(lái)自不同組；解：解：23121314)!314(!3!14)1(3141 Cm31431431431423)2(CCCCm 3114114114314)3(CCCm(加法原理加法原理 “或或”)(乘法原理乘法原理 “且且”)(一種試驗(yàn)一種試驗(yàn))概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2

4、某產(chǎn)品共某產(chǎn)品共30件，內(nèi)含正品件，內(nèi)含正品23件，次品件，次品7件，件，從中任取從中任取5件。件。（1）此）此5件中恰好有件中恰好有2件次品；件次品；（2）每取一件看后放回，再取下一件求前二次為）每取一件看后放回，再取下一件求前二次為次品，后三次為正品的可能數(shù)；次品，后三次為正品的可能數(shù)；（3）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次為）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次為次品，后三次為正品的可能數(shù)；次品，后三次為正品的可能數(shù)；解：解：（1）（不放回?zé)o序）（不放回?zé)o序）273231CCm （2）（放回有序）（放回有序）322237 m（3）（不放回有序）（不放回有序）323273AAm (

5、三種試驗(yàn)三種試驗(yàn))概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例3 有有10本書放在書架上本書放在書架上,(1)某指定的三本書放在一起；某指定的三本書放在一起；(2)上述書是上述書是5本中文，本中文，5本外文且恰好相間排放；本外文且恰好相間排放；解：解：(1)三本書作為一個(gè)元素，共三本書作為一個(gè)元素，共8個(gè)元素做全排列個(gè)元素做全排列(2)!3!8 m一本中文，一本外文為一個(gè)元素共一本中文，一本外文為一個(gè)元素共5個(gè)元素；個(gè)元素；5個(gè)元素可以任意調(diào)換；個(gè)元素可以任意調(diào)換；第一本書可以是中文或外文；第一本書可以是中文或外文；!5!52 m概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例4 某城市電話號(hào)碼升為某城市電話號(hào)碼升為6位數(shù)位數(shù)(1)共有多少

6、個(gè)號(hào)碼共有多少個(gè)號(hào)碼(2)第一位是第一位是6或或8的有多少個(gè)號(hào)碼的有多少個(gè)號(hào)碼(3)末位數(shù)是末位數(shù)是8，首位數(shù)是，首位數(shù)是6有多少個(gè)號(hào)碼有多少個(gè)號(hào)碼(4)末位數(shù)是末位數(shù)是8的有多少個(gè)號(hào)碼的有多少個(gè)號(hào)碼(5)號(hào)碼均不重復(fù)有多少個(gè)號(hào)碼號(hào)碼均不重復(fù)有多少個(gè)號(hào)碼)(106允許重復(fù)允許重復(fù)5551021010 44101101 5510110 457899 不能為不能為0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6在自然界和人類社會(huì)中存在著兩類不同在自然界和人類社會(huì)中存在著兩類不同的現(xiàn)象，的現(xiàn)象，一類是一類是確定性現(xiàn)象，確定性現(xiàn)象，另一類是另一類是不確不確定性現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）。定性現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）。在一定條件下一定會(huì)發(fā)生或一在一

7、定條件下一定會(huì)發(fā)生或一定不會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象；定不會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象；在相同條件下可能發(fā)生也可在相同條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生能不發(fā)生,事先無(wú)法確切知道其結(jié)果的現(xiàn)象。事先無(wú)法確切知道其結(jié)果的現(xiàn)象。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要對(duì)客觀事物進(jìn)行為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察，觀察的過(guò)程稱為觀察，觀察的過(guò)程稱為（）。）。(1)在相同的條件下試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行；在相同的條件下試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性,且在試驗(yàn)之且在試驗(yàn)之前，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是可以明確知道的；前，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是可以明確知道的；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一

8、個(gè)，每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。哪一個(gè)結(jié)果。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究后，發(fā)現(xiàn)人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究后，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象雖然具有不確定性，但在大量重復(fù)隨機(jī)現(xiàn)象雖然具有不確定性，但在大量重復(fù)試驗(yàn)下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。試驗(yàn)下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。這種在大量重復(fù)試驗(yàn)中所呈現(xiàn)的規(guī)律性，這種在大量重復(fù)試驗(yàn)中所呈現(xiàn)的規(guī)律性，稱為稱為。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。即它研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)

9、規(guī)律性。即在相同的條件下，通過(guò)大量重復(fù)的試驗(yàn)來(lái)分在相同的條件下，通過(guò)大量重復(fù)的試驗(yàn)來(lái)分析研究隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律。析研究隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德德.摩根摩根204810610.5181蒲蒲 豐豐404020480.5069K K.皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K K.皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼30000149940.4998概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)，盡管各次試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)，盡管各次試驗(yàn)的結(jié)果在試驗(yàn)之前無(wú)法預(yù)知，但試驗(yàn)的所有可能在試驗(yàn)之前無(wú)法預(yù)知，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合是已知的。結(jié)果所

10、組成的集合是已知的。我們將隨機(jī)試驗(yàn)我們將隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能的結(jié)果的所有可能的結(jié)果所組成的集合稱為所組成的集合稱為 E 的的，記為記為 S.樣本空間的元素，稱為樣本空間的元素，稱為。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 例如例如,試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況:S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次試驗(yàn)中必有在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).則樣本空間則樣本空間概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6.,:出

11、出現(xiàn)現(xiàn)的的情情況況和和反反面面觀觀察察正正面面拋拋一一枚枚硬硬幣幣THE1 :的情況的情況.和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)出現(xiàn)2個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)8個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6試驗(yàn)試驗(yàn)E1:拋一枚硬幣拋一枚硬幣,觀察正面觀察正面H、反面、反面T出現(xiàn)的情況。出現(xiàn)的情況。樣本空間樣本空間S1:,:1THS試驗(yàn)試驗(yàn)E2:將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)。觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)。樣本空間樣本空間S2:3,2,1,0:2S試驗(yàn)試驗(yàn)E3:記錄某城市記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù)。喚次數(shù)。樣本空間

12、樣本空間S3:,3,2,1,0:3S試驗(yàn)試驗(yàn)E4:在一批燈泡中任意抽取一只在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試它的壽命。測(cè)試它的壽命。樣本空間樣本空間S4:0|:4 ttS概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn)上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)出現(xiàn).在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為.概率論

13、與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6試驗(yàn)試驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間S的子集稱為的子集稱為E的的，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱。在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一。特別地，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，特別地，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為稱為。每一基本事件對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)每一基本事件對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果。的一個(gè)可能結(jié)果。如試驗(yàn)如試驗(yàn)E1有兩個(gè)基本事件：有兩個(gè)基本事件：H和和T記為記為,CBA如試驗(yàn)如試驗(yàn)E3有無(wú)數(shù)個(gè)基本事件：有無(wú)數(shù)個(gè)基本事件：,2,1,0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6樣本空間樣本空間S作為自身的子集，包含了所有作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的事件

14、就是必然事件。的樣本點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的事件就是必然事件?？占占?作為樣本空間作為樣本空間S的子集，它不包的子集，它不包含任何樣本點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的事件就是不可含任何樣本點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的事件就是不可能事件。能事件。例：例：設(shè)設(shè) 表示表示“擲骰子出現(xiàn)擲骰子出現(xiàn) i 點(diǎn)點(diǎn)”這一基本事件，這一基本事件，i 則樣本空間為則樣本空間為,654321 S且且,531 A 表示表示“擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”這這一事件；一事件；而而,65 B表示表示“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于或等于數(shù)大于或等于5點(diǎn)點(diǎn)”這一事件。這一事件。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S，而，而),2,1(,kAB

15、Ak是是S的子集。的子集。如果事件如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即屬于發(fā)生，即屬于A的的 每一個(gè)樣本點(diǎn)也屬于每一個(gè)樣本點(diǎn)也屬于B，則稱，則稱。(或稱或稱，)記為記為AB 或或.BA SBABA 則則且且ABBA.SA 對(duì)任意事件對(duì)任意事件A概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)62.“事件事件A與與B至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為 。記為記為.BASBA它是由屬于它是由屬于A或?qū)儆诨驅(qū)儆贐的所有樣本點(diǎn)組成的的所有樣本點(diǎn)組成的集合。集合。即：即：.|BxAxxBA 或或概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 此定義可推廣到有限個(gè)或無(wú)限個(gè)事件。此定義可推廣到有限個(gè)或無(wú)限個(gè)事件。即：即：n個(gè)事件的和事件個(gè)

16、事件的和事件nAAA21無(wú)限可列個(gè)事件的和事件無(wú)限可列個(gè)事件的和事件21AAniiA1 1iiA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)63.“事件事件A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為。記為記為.BASBA它是由既屬于它是由既屬于A又屬于又屬于B的所有公共樣本點(diǎn)的所有公共樣本點(diǎn)組成的集合。組成的集合。即：即：.|BxAxxBA 且且或或 AB.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 此定義可推廣到有限個(gè)或無(wú)限個(gè)事件。此定義可推廣到有限個(gè)或無(wú)限個(gè)事件。即：即：n個(gè)事件的積事件個(gè)事件的積事件nAAA21無(wú)限可列個(gè)事件的積事件無(wú)限可列個(gè)事件的積事件21AAniiA1 1iiA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)64.“事件事件A發(fā)生而發(fā)生而B不

17、發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為。記為記為.BA SBA它是由屬于它是由屬于A但不屬于但不屬于B的那些樣本點(diǎn)組成的那些樣本點(diǎn)組成的集合。的集合。即：即：.|BxAxxBA 且且概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6SBA通常把兩個(gè)通常把兩個(gè)互不相容的事件互不相容的事件A與與B的和事件的和事件5.如果事件如果事件A與與B在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生，即生，即 則稱則稱，或，或。,AB記為記為A+B。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6如果如果n個(gè)事件個(gè)事件nAAA,21中任意兩個(gè)事件中任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，即都不可能同時(shí)發(fā)生，即)(jiAAji 則稱這則稱這n個(gè)事件是兩兩互不相容的個(gè)事件是兩兩互不相

18、容的?；蚝?jiǎn)稱這或簡(jiǎn)稱這n個(gè)事件是互不相容的個(gè)事件是互不相容的。如對(duì)一個(gè)試驗(yàn)而言，它的各個(gè)基本事如對(duì)一個(gè)試驗(yàn)而言，它的各個(gè)基本事件之間是件之間是互不相容的。互不相容的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6SA若事件若事件A與與B互為對(duì)立事件，則在一次試驗(yàn)中，事互為對(duì)立事件，則在一次試驗(yàn)中，事件件A與與B必有一個(gè)發(fā)生，且只有一個(gè)發(fā)生。必有一個(gè)發(fā)生，且只有一個(gè)發(fā)生。事件事件A的逆事件記為的逆事件記為6.若若 且且 則稱則稱；又稱；又稱。,ABSBA A.ASA 它是由樣本空間它是由樣本空間S中所有不屬于中所有不屬于A的那些樣本的那些樣本點(diǎn)組成的集合。點(diǎn)組成的集合。A概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空

19、間為S,而而CBA,是是S的子集。的子集。(1)交換律交換律;ABBA(2)結(jié)合律結(jié)合律;)()(CBACBA(3)分配律分配律);()()(CABACBA(4)德德.摩根律摩根律;BABA 另外一些常用的運(yùn)算規(guī)律另外一些常用的運(yùn)算規(guī)律;AA ;SAA;AA.BABA .ABBA.)()(CBACBA).()()(CABACBA.BABA 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1：設(shè)一個(gè)工人生產(chǎn)了四個(gè)零件，又：設(shè)一個(gè)工人生產(chǎn)了四個(gè)零件，又 Ai 表示事件表示事件“他生產(chǎn)的第他生產(chǎn)的第i個(gè)零件是正品個(gè)零件是正品”(i=1,2,3,4)。試用諸。試用諸Ai 表示下列各事件。表示下列各事件。沒(méi)有一個(gè)產(chǎn)品是次品；沒(méi)有

20、一個(gè)產(chǎn)品是次品；至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品；至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品；只有一個(gè)產(chǎn)品是正品；只有一個(gè)產(chǎn)品是正品；(1)至少有三個(gè)產(chǎn)品不是次品。至少有三個(gè)產(chǎn)品不是次品。4321)1(AAAA4321)2(AAAA4321)3(AAAA即最多只有一個(gè)是次品即最多只有一個(gè)是次品4321)4(AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2：一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，事件一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，事件 Ai 表示該射手第表示該射手第i次射擊時(shí)擊中目標(biāo)次射擊時(shí)擊中目標(biāo)(i=1,2,3)。試用文。試用文字?jǐn)⑹鱿?/p>

21、列事件。字?jǐn)⑹鱿铝惺录?1)1(AA 前兩次中至少有一次擊中。前兩次中至少有一次擊中。2)2(A第二次未擊中。第二次未擊中。321)3(AAA三次中至少有一次擊中。三次中至少有一次擊中。321)4(AAA三次都擊中。三次都擊中。23)5(AA第三次擊中但第二次未擊中。第三次擊中但第二次未擊中。32)6(AA 后二次中至少有一次未擊中。后二次中至少有一次未擊中。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6事件間的關(guān)系與運(yùn)算小結(jié)事件間的關(guān)系與運(yùn)算小結(jié)；中除去中除去同時(shí)發(fā)生；同時(shí)發(fā)生；與與中至少有一個(gè)發(fā)生；中至少有一個(gè)發(fā)生；，BABABAABBABA)(,)(時(shí)時(shí)不不發(fā)發(fā)生生不不能能同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生也也不不能能同同對(duì)對(duì)立立

22、且且時(shí)時(shí)都都不不發(fā)發(fā)生生不不能能同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生但但允允許許同同互互不不相相容容與與互互斥斥即即，BASBAABBABAAB SAABABAAABABABAAB ;互斥分解：互斥分解：BAABABAABA包含關(guān)系：包含關(guān)系：AAAAASSSABAAAB;概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 在相同的條件下，進(jìn)行了在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這次試驗(yàn)，在這n 次試驗(yàn)次試驗(yàn)中，事件中，事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件稱為事件A發(fā)生的發(fā)生的。比值比值nnA稱為事件稱為事件A發(fā)生的發(fā)生的，記為記為)(Afn顯然，頻率具有下述基本性質(zhì)：顯然，頻率具有下述基本性質(zhì)：(1)有界性有界性 ;1)(0 Afn(2)規(guī)

23、范性規(guī)范性 ;1)(Sfn(3)有限可加性有限可加性 若若kAAA,21是兩兩互不相容是兩兩互不相容的事件，則的事件，則)()()(11knnknAfAfAAf 在大量重復(fù)的試驗(yàn)中在大量重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具頻率具 有穩(wěn)定有穩(wěn)定性性.即通常所說(shuō)的即通常所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.頻率也稱為概率的統(tǒng)計(jì)定頻率也稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義。義。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德德.摩根摩根204810610.5181蒲蒲 豐豐404020480.5069K K.皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K K.皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼300

24、00149940.4998概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 設(shè)設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間。是它的樣本空間。對(duì)于對(duì)于E的每一事件的每一事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為),(AP稱為事件稱為事件A的的。如果集合函數(shù)如果集合函數(shù))(P滿足下列條件：滿足下列條件：(1)非負(fù)性：非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件對(duì)于每一個(gè)事件A，有，有;0)(AP(2)規(guī)范性：規(guī)范性：對(duì)于必然事件對(duì)于必然事件S，有，有;1)(SP(3)可列可加性：可列可加性：設(shè)設(shè),21AA是兩兩互不相容的是兩兩互不相容的事件，即事件，即 )()()(2121APAPAAP),2,1,;(jijiAAji 則有則有概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的

25、統(tǒng)計(jì)定義(頻率頻率)具有應(yīng)用價(jià)值但在理論上有缺陷具有應(yīng)用價(jià)值但在理論上有缺陷概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6在第五章中，我們將證明：在第五章中，我們將證明：。接接近近于于概概率率在在一一定定意意義義下下時(shí)時(shí)，頻頻率率當(dāng)當(dāng))()(APAfnn 0)(P概率的有限可加性概率的有限可加性若若nAAA,21是兩兩互不相容的事件，則有是兩兩互不相容的事件，則有)()()(11nnAPAPAAP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是小，也就是事件的概率事件的概率.概率是隨

26、機(jī)事件概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小的度量的度量 事件發(fā)生的可能性事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小大小,確定保險(xiǎn)金額確定保險(xiǎn)金額.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員性大小，合理配置服務(wù)人員.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 了解每年最大洪水超警戒線可能性大了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度小，合理確定堤壩高度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6);()()(,APBPABPBA 則則設(shè)設(shè)從而有從而有).()

27、(APBP 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A，有，有.1)(AP對(duì)任一事件對(duì)任一事件A，有，有).(1)(APAP （逆事件的概率）（逆事件的概率）（加法公式）（加法公式）對(duì)任意兩個(gè)事件對(duì)任意兩個(gè)事件A，B 有有).()()()(ABPBPAPBAP 若若A，B互斥，則互斥，則).()()(BPAPBAP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6加法公式可推廣到有限個(gè)事件上去。加法公式可推廣到有限個(gè)事件上去。如對(duì)任意三個(gè)事件如對(duì)任意三個(gè)事件A，B，C，有，有)(CBAP)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP ).(ABCP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1：設(shè)事件：設(shè)事件A，B的概率分別為的概率分別為 與與31.2

28、1求在下列三種情況下求在下列三種情況下)(ABP的值。的值。.81)()3(;2)1(ABPBABA）（互互斥斥；與與互互斥斥與與BA)1(AB BAB;21)()(BPABPBA）（2;61)()()()(APBPABPABPABABA)3()(ABA)()()()(ABPAPABAPBAP )()()()(ABPBPAPBAP 而而.83)()()(ABPBPABP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2：設(shè)：設(shè)A,B,C是三事件，且是三事件，且,41)()()(CPBPAP.81)(,0)()(ACPBCPABP求求A,B,C至少有一個(gè)至少有一個(gè)發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。ABABC 0)()(3 ABPA

29、BCP知知由由性性質(zhì)質(zhì)0)(ABCPA,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率至少有一個(gè)發(fā)生的概率)(CBAP)()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAP 00810414141 .85 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)63.4.)()2();()1(,)(,)(,)(BAPBAPCBAPbBPaAP求求已知已知 解：解：)()()()()()1(ABPaABPAPBAPBAP cABPBPAPBAP )()()()(cbaABP )(cBAPBAPBAP 1)(1)()()2()(2)()()(ABPBPAPBABAP 證證明明解：解：)()()(,BAPBAPBABAPBABA )()(ABPB

30、AP)()()()(ABPBPABPAP )(2)()(ABPBPAP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果且所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即且所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即 的出現(xiàn)機(jī)會(huì)的出現(xiàn)機(jī)會(huì).e1,e2,，eN,常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能概型等可能概型”.N1如擲硬幣、如擲硬幣、骰子、骰子、摸球等。摸球等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6e1,e2,，eN 試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？可能性大？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒(méi)有理由

31、認(rèn)全平等的，我們沒(méi)有理由認(rèn)為為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得一個(gè)更容易取得.也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.1324 5 6 7 8 9 1010個(gè)球中的任一個(gè)被取個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是出的機(jī)會(huì)都是1/102 3479108615 例如，一個(gè)袋子中裝有例如，一個(gè)袋子中裝有10 個(gè)大小、形狀完全相同的球個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為將球編號(hào)為110.把球攪勻，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球蒙上眼睛，從中任取一球.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 我們用我們用 i 表示取到表示取到 i號(hào)

32、球，號(hào)球，i=1,2,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說(shuō)基本或者說(shuō)基本事件事件)出現(xiàn)的可能性相同出現(xiàn)的可能性相同.S=1,2,10,則該試驗(yàn)的樣本空間則該試驗(yàn)的樣本空間 如如i=21012 ip概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 對(duì)古典概率試驗(yàn)，假定樣本空間對(duì)古典概率試驗(yàn)，假定樣本空間S所含的基本所含的基本事件總數(shù)為事件總數(shù)為n，事件，事件A所包含的基本事件總數(shù)為所包含的基本事件總數(shù)為k。則則nkAP)(SAmmSA 中基本事件的總數(shù)中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)nePeeeSin1)(,21 ，若若keeA

33、 1 iiinknePAP1)()(由于等可能及基本事件是互不相容的由于等可能及基本事件是互不相容的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1：一部四卷本的文集按任意次序放到書架上去，：一部四卷本的文集按任意次序放到書架上去，問(wèn)各冊(cè)從左到右或從右到左恰成問(wèn)各冊(cè)從左到右或從右到左恰成1、2、3、4的的 順序的概率是多少？順序的概率是多少？!42 P.121 例例2：100個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，任取個(gè)次品，任取5只，求其次品只，求其次品 數(shù)分別為數(shù)分別為0，1，2，3的概率？的概率？設(shè)設(shè) Ai 表示取出的產(chǎn)品中有表示取出的產(chǎn)品中有i個(gè)次品。個(gè)次品。)3,2,1,0(i)(iAPC5100 Ci3Ci 597

34、)3,2,1,0(i概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6古典概型大致可歸為三類，它們具有典型的意義古典概型大致可歸為三類，它們具有典型的意義（1）抽球問(wèn)題）抽球問(wèn)題（2）分房問(wèn)題）分房問(wèn)題（3）隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題）隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6個(gè)個(gè)黑黑球球的的概概率率個(gè)個(gè)白白球球，求求取取得得的的球球恰恰好好是是個(gè)個(gè)，個(gè)個(gè)黑黑球球，任任取取白白球球，箱箱子子中中有有個(gè)個(gè)yxyxba)1(yxbaybxaCCCp 解：解：白球的概率白球的概率求最后取得的球恰好是求最后取得的球恰好是球取出不放回球取出不放回每每個(gè)個(gè)任連接地取任連接地取個(gè)黑球個(gè)黑球白球白球箱子中有個(gè)箱子中有個(gè),1,kba1)!1(!kbakbaCkCakp

35、解：解：,)!1(C,11個(gè)排列個(gè)排列對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)種取法，每種取法種取法，每種取法但有序列，有但有序列，有個(gè)個(gè)看成一把抓看成一把抓 kkkba種種選選法法所所需需白白球球有有a各種抽球問(wèn)題各種抽球問(wèn)題,黑白球可換成甲乙物黑白球可換成甲乙物;合格不合格等合格不合格等E:每每x+y個(gè)球構(gòu)成一基本事件個(gè)球構(gòu)成一基本事件E:每每K+1個(gè)排列好的球構(gòu)成一基本事件個(gè)排列好的球構(gòu)成一基本事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6間間房房，其其中中各各有有一一人人。：恰恰有有間間房房中中各各有有一一人人。：某某指指定定求求下下列列各各事事件件的的概概率率房房間間中中的的每每一一間間中中個(gè)個(gè)分分配配到到率率個(gè)個(gè)人人，每每人人以以相相同

36、同的的概概有有nnnBA.N)N(nN1)2(.,NE人人共共間間房房間間中中之之一一去去把把一一人人分分配配到到解解：nnNn!P(A)間，間，第二人可進(jìn)第二人可進(jìn)間間第一人可進(jìn)第一人可進(jìn)間房間房對(duì)于固定的某對(duì)于固定的某間的任何一間間的任何一間每人均可進(jìn)入每人均可進(jìn)入1,N nnnnnNNCnBP!)(n間房自間房自N間房中選出間房中選出)可把人看成質(zhì)點(diǎn)、旅客、信；房看成格子、車站、信封等可把人看成質(zhì)點(diǎn)、旅客、信；房看成格子、車站、信封等概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例如：概率論中有一個(gè)歷史上頗為有名的問(wèn)題：要求例如：概率論中有一個(gè)歷史上頗為有名的問(wèn)題：要求 參加某次集會(huì)的參加某次集會(huì)的n個(gè)人個(gè)人 沒(méi)有

37、兩個(gè)人生沒(méi)有兩個(gè)人生 日相同的概率？日相同的概率？P Cn365)365(n分析：分析：每個(gè)人的生日都以同樣的概率每個(gè)人的生日都以同樣的概率 落在一年落在一年的的365天中。天中。3651現(xiàn)要求現(xiàn)要求n個(gè)人中沒(méi)有兩個(gè)人生日相同，即個(gè)人中沒(méi)有兩個(gè)人生日相同，即n個(gè)個(gè)人生日均不相同。人生日均不相同。n365!n.365)1365(364365nn nP100.88200.593040500.290.110.03概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例5：一袋中裝有：一袋中裝有n-1只黑球和只黑球和1只白球。每次從袋中只白球。每次從袋中 隨機(jī)摸出隨機(jī)摸出1球，并換入黑球，這樣反復(fù)進(jìn)行。問(wèn)球，并換入黑球，這樣反復(fù)進(jìn)行。

38、問(wèn) 第第k次摸球時(shí)摸到黑球的概率是多少？次摸球時(shí)摸到黑球的概率是多少？)(AP若以若以A表示第表示第k次摸球摸到黑球這一事件次摸球摸到黑球這一事件則則 表示第表示第k次摸球摸到白球這一事件次摸球摸到白球這一事件A因袋中白球只有因袋中白球只有1只，而每次摸到白球總是換入只，而每次摸到白球總是換入1只黑球。故為了在第只黑球。故為了在第k次摸到白球，則前面的次摸到白球，則前面的 k-1次摸球一定不能摸到白球。因此次摸球一定不能摸到白球。因此A 等價(jià)于這等價(jià)于這一事件，在前面一事件，在前面k-1次摸球時(shí)都摸到黑球，而第次摸球時(shí)都摸到黑球，而第k次摸出白球。次摸出白球。kn1)1(1 knnnk1)11

39、(1 )(1)(APAP nnk1)11(11 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6以以 A、B、C 分別表示事件分別表示事件“取到的兩只球都是白取到的兩只球都是白球球”、“取到的兩只球都是紅球取到的兩只球都是紅球”、“取到的兩只球取到的兩只球中至少有一只白球中至少有一只白球”。則則)(AP56 34 4.0 )(BP56 12 067.0)()()(BPAPBAP 467.0)()(BPCP)(1BP 933.0 例例6：P10例例2 解（解（b）不放回抽樣）不放回抽樣概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6課內(nèi)練習(xí)題課內(nèi)練習(xí)題1.共有共有n張獎(jiǎng)券，只有一張中獎(jiǎng)張獎(jiǎng)券，只有一張中獎(jiǎng).每人抽一張，求每人抽一張，求第第k個(gè)人中獎(jiǎng)的概率

40、個(gè)人中獎(jiǎng)的概率p.(分放回和無(wú)放回分放回和無(wú)放回)答答:(放回放回)np1(無(wú)放回?zé)o放回),1()2)(1(knnnnnS),1)1(1()2)(1(knnnnA的解釋：的解釋：An張張張張中中取取得得的的余余被被取取走走的的獎(jiǎng)獎(jiǎng)券券只只能能是是券券只只有有一一種種取取法法即即其其發(fā)發(fā)生生時(shí)時(shí)，第第個(gè)個(gè)人人取取到到獎(jiǎng)獎(jiǎng)當(dāng)當(dāng)11A knnnnpSA1 個(gè)個(gè)人人第第個(gè)個(gè)人人第第第第四四人人第第三三人人第第二二人人第第一一人人kkknnnnn)1()1()4()3()2()1(1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)63.某班某班42名學(xué)生分成名學(xué)生分成3組，每組組，每組14人從中任意抽人從中任意抽出出3名參加體能測(cè)試

41、。求下列事件的概率。名參加體能測(cè)試。求下列事件的概率。抽到的學(xué)生來(lái)自抽到的學(xué)生來(lái)自(1)第一組第一組(2)同一組同一組(3)不同組不同組114114114314314342)3(3)2()1!3404142,342:CCCCCC事件樣本點(diǎn)數(shù)事件樣本點(diǎn)數(shù)；事件樣本點(diǎn)數(shù)事件樣本點(diǎn)數(shù)；事件樣本點(diǎn)數(shù)事件樣本點(diǎn)數(shù)（總樣本點(diǎn)共有總樣本點(diǎn)共有人人人抽出人抽出試驗(yàn)為試驗(yàn)為解解 0317.03423141 CCp0951.00317.0333423142 CCp239.03421141141143 CCCCp同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)64.某種產(chǎn)品共某種產(chǎn)品共30件件.正品正品23件件,次

42、品次品7件件,從中取從中取5件件求下列事件的概率求下列事件的概率(1)同時(shí)任取同時(shí)任取5件中恰有件中恰有2件次品件次品(2)每次取一件不放回前每次取一件不放回前2件次品后件次品后3件正品件正品(3)每次取一件放回每次取一件放回,恰有恰有2件次品件次品不同的試驗(yàn)不同的試驗(yàn)27323530CCAC1 mn的數(shù)的數(shù)，的總數(shù)的總數(shù)）（261.0 nmp25325C237A303 mn的數(shù)的數(shù)，的總數(shù)的總數(shù)）（27323530AAAA2 mn的的數(shù)數(shù)，的的總總數(shù)數(shù)）（0261.0 nmp2453.0 nmp概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)65.總經(jīng)理的五位秘書有兩位精通英語(yǔ)，今遇其中總經(jīng)理的五位秘書有兩位精通英語(yǔ)，今遇

43、其中三位秘書三位秘書,求下列事件的概率：求下列事件的概率：(1)A:其中恰有一位精通英語(yǔ)其中恰有一位精通英語(yǔ)(2)B:其中恰有二位精通英語(yǔ)其中恰有二位精通英語(yǔ)(3)C其有人精通英語(yǔ)其有人精通英語(yǔ)35C本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)為為解解：（相相同同的的試試驗(yàn)驗(yàn)）樣樣;103)()2(;53)()1(351322352312 CCCBPCCCAP BABAC3，）（109BPAPCP ）（）（）（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6二、幾何概型二、幾何概型古典古典概型須假定試驗(yàn)結(jié)果是有限的，這限制了他的概型須假定試驗(yàn)結(jié)果是有限的，這限制了他的適用范圍。一個(gè)直接的推廣是：保留等可能性允許適用范圍。一個(gè)直接的推廣是：保留等可能性

44、允許試驗(yàn)結(jié)果為無(wú)限個(gè)試驗(yàn)結(jié)果為無(wú)限個(gè),稱這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?。稱這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?。則則有有內(nèi)內(nèi)，的的一一個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)域域表表示示隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)落落在在區(qū)區(qū)域域事事件件ASA AS)(P的度量的度量的度量的度量ASA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1某汽車站從上午某汽車站從上午7時(shí)起每隔時(shí)起每隔15分鐘來(lái)一趟車分鐘來(lái)一趟車一乘客在一乘客在7點(diǎn)到點(diǎn)到7.30之間隨機(jī)候車之間隨機(jī)候車,求求(1)A：等候不到：等候不到5分鐘乘上車的概率分鐘乘上車的概率(2)B：等候時(shí)間超過(guò)：等候時(shí)間超過(guò)10分鐘才上車的概率分鐘才上車的概率解：設(shè)解：設(shè)T為該乘客到達(dá)的時(shí)間為該乘客到達(dá)的時(shí)間 20:715:705:700:7

45、30:725:715:710:7,30:7007 TTSTTSTBA或或或或：則則10S10S30TBA ，的單位是分鐘，則的單位是分鐘，則31)()(BPAP所以所以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2一質(zhì)點(diǎn)落在三角形內(nèi)的各點(diǎn)處是等可能的，求一質(zhì)點(diǎn)落在三角形內(nèi)的各點(diǎn)處是等可能的，求質(zhì)點(diǎn)落在直線質(zhì)點(diǎn)落在直線x=1/3左側(cè)的概率左側(cè)的概率113121 面積面積的度量的度量解：解：18531312192SA 32AS概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例3一半徑為一半徑為r 的錢幣隨機(jī)落在邊長(zhǎng)為的錢幣隨機(jī)落在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的正方形桌面上。設(shè)事件桌面上。設(shè)事件A=“錢幣不與桌面的邊相交錢幣不與桌面的邊相交”求求P（A）2A2

46、2-LSL）（，解：解：r （）（）P錢幣的極限位置在錢幣的極限位置在L-2r處處rL2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例3（Buffon投針問(wèn)題）投針問(wèn)題）一組等距為一組等距為D的平行線的平行線將長(zhǎng)為將長(zhǎng)為L(zhǎng)（L 0，則有，則有)(ABCP)(CABP)|()(ABCPABP)|()|()(ABCPABPAP 0)(BP若若)|()()(ABPAPABP)|()()(BAPBPABP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1 口袋里有口袋里有8個(gè)白球，個(gè)白球，5個(gè)紅球，無(wú)放回抽取二次個(gè)紅球，無(wú)放回抽取二次每次每次1球。求下列各事件的概率；球。求下列各事件的概率；(1)第二次才取得紅球；第二次才取得紅球；(2)二次內(nèi)取

47、得紅球；二次內(nèi)取得紅球；解：解：2,1 iiAi次取得紅球”，次取得紅球”，事件“第事件“第記記試驗(yàn)試驗(yàn)：“每次取每次取1個(gè)球，取后不放回，共取個(gè)球，取后不放回，共取2個(gè)個(gè)”)|()()()1(12121AAPAPAAP 15640125138 為兩次均未取得紅球，為兩次均未取得紅球，則則“兩次內(nèi)取得紅球”，“兩次內(nèi)取得紅球”，設(shè)設(shè)21)2(AAB 21212121AAAAAABAAB 或或（互不相容）（互不相容）)(1)(21AAPBP 1271381)|()(1121AAPAP156100或或)()()()(212121AAPAAPAAPBP 15610012513812813512413

48、5 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2：某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而：某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地拔號(hào)他隨意地拔號(hào).求求(1)他拔號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電他拔號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率話的概率.(2)若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？率是多少？)10,2,1(iiAi次撥號(hào)正確次撥號(hào)正確表示第表示第設(shè)設(shè)(1)拔號(hào)不超過(guò)三次而接通的概率為拔號(hào)不超過(guò)三次而接通的概率為)(321211AAAAAAP)()()(321211AAAPAAPAP )(1AP)|()|()(213121AAAPAAPAP)|()(121AAPAP 101

49、91109 8198109 .103 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2：某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而：某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地拔號(hào)他隨意地拔號(hào).求他拔號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電求他拔號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率話的概率.若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？率是多少？(2)若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，則拔號(hào)不超過(guò)若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，則拔號(hào)不超過(guò)三次而接通的概率為三次而接通的概率為)(321211AAAAAAP)(1AP)|()|()(213121AAAPAAPAP)|()(121AAPAP 51 4154 314354 .5

50、3 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例3：10張考簽中有張考簽中有4張難簽，張難簽，2人參加抽簽考試。不人參加抽簽考試。不重復(fù)地抽取，每人一次，甲先，乙后。證明兩人抽到重復(fù)地抽取，每人一次，甲先，乙后。證明兩人抽到難簽的概率相等。難簽的概率相等。設(shè)設(shè)A，B分別表示甲，乙抽到難簽分別表示甲，乙抽到難簽 .104)(AP則則BAABB,互互斥斥與與且且BAAB)()(BAABPBP)()(BAPABP )|()()|()(ABPAPABPAP 93104 94106 104 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6設(shè)設(shè)S為試驗(yàn)為試驗(yàn)E的樣本空間，的樣本空間，nBBB,21為為E的一組事件，若的一組事件，若;,2,1,;)1(nji

51、jiBBji ;)2(21SBBBn 則稱則稱nBBB,21為樣本空間為樣本空間S的一個(gè)的一個(gè)。若若nBBB,21為樣本空間為樣本空間S的一個(gè)的一個(gè)劃分，劃分，那么，對(duì)每次試驗(yàn)，那么，對(duì)每次試驗(yàn)，事件事件nBBB,21中必有一個(gè)中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。且僅有一個(gè)發(fā)生。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例如，設(shè)試驗(yàn)例如，設(shè)試驗(yàn)E為為“擲一棵骰子觀察其點(diǎn)數(shù)擲一棵骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。它的樣本空間為它的樣本空間為S=1,2,3,4,5,6.E的一組事件的一組事件B1=1,2,3,B2=4,5,B3=6是是S的的一個(gè)劃分。一個(gè)劃分。而事件組而事件組C1=1,2,3,C2=3,4,C3=5,6不是不是S的的劃分。劃分。設(shè)

52、試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S，A為為E的事件，的事件，nBBB,21為為S的一個(gè)劃分，的一個(gè)劃分，),1(0)(niBPi 且且則則).()|()()|()()|()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP 上式稱為上式稱為。(引起引起A發(fā)生有諸多因素，發(fā)生有諸多因素，A可被這些因素分解可被這些因素分解)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6ASA )(21nBBBA nABABAB21),1(0)(niBPi 由由假假設(shè)設(shè)),1,;()(njijiABABji 且且得到得到)()()()(21nABPABPABPAP )()|(11BPBAP)()|(22BPBAP).()|(nnBPBAP

53、證畢證畢由此可得另一個(gè)重要的公式。由此可得另一個(gè)重要的公式。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S，A為為E的事件，的事件，nBBB,21為為S的一個(gè)劃分，的一個(gè)劃分，),1(0)(,0)(niBPAPi 且且則則).,2,1(,)()|()()|()|(1niBPBAPBPBAPABPnjjjiii 上式稱為上式稱為。(引起引起A發(fā)生有諸多因素發(fā)生有諸多因素,現(xiàn)現(xiàn)A發(fā)生了發(fā)生了,求是那種因素求是那種因素的概率的概率)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1：有兩個(gè)口袋，甲袋中盛有兩個(gè)白球，一個(gè)黑有兩個(gè)口袋，甲袋中盛有兩個(gè)白球，一個(gè)黑球，乙袋中盛有一個(gè)白球，兩個(gè)黑球。由甲袋任取球，乙袋中盛

54、有一個(gè)白球，兩個(gè)黑球。由甲袋任取一個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕鲆粋€(gè)球，求取到一個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕鲆粋€(gè)球，求取到白球的概率。白球的概率。設(shè)設(shè)A表示表示“從甲袋中取出一個(gè)白球從甲袋中取出一個(gè)白球”，B表示表示“從乙袋中取出一個(gè)白球從乙袋中取出一個(gè)白球”，.個(gè)黑球”個(gè)黑球”表示“從甲袋中取出一表示“從甲袋中取出一則則 A所以所求概率為所以所求概率為)|()()|()()(ABPAPABPAPBP 4232 4131 .125),(ABBABSBAAS 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2：發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率：發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和和0.4發(fā)出信號(hào)發(fā)出信號(hào) 及及 。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)由于通

55、信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào) 時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率分別以概率0.8及及0.2受到信號(hào)受到信號(hào) 及及 。又當(dāng)發(fā)出信。又當(dāng)發(fā)出信號(hào)號(hào) ,收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9及及0.1受到信號(hào)受到信號(hào) 及及 。求當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)受到求當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)受到 時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào) 的概的概率。率?！薄啊薄啊薄啊薄啊薄啊薄啊薄啊薄啊薄啊薄霸O(shè)設(shè)A表示表示“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào) ”，”“B表示表示“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào) ”，”“則所求的概率為則所求的概率為)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 8.06.0 1.04.08.06.0 923.

56、0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例3：對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好：對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98%，而機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，其合，而機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，其合格率為格率為55%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為概率為95%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？設(shè)設(shè)A表示事件表示事件“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”，B表示事件表示事件“機(jī)器調(diào)整良好機(jī)器調(diào)整良好”。,98.0)|(BAP已知已知,55.0)|(BAP,95.0

57、)(BP,05.0)(BP則所求的概率為則所求的概率為)|(ABP)()|()()|()()|(BPBAPBPBAPBPBAP 97.0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 這就是說(shuō)，當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合這就是說(shuō)，當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為格品時(shí)，此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97。這里，概率這里，概率 0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，叫做的，叫做。而在得到信息（即生。而在得到信息（即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即加以修正的概率（即0.97）叫做）叫做。有了后驗(yàn)概率我們就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)有了后驗(yàn)

58、概率我們就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解。一步的了解。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例4：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以具有如下的效果：若以A表示事件表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性性”，以，以C表示事件表示事件“被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥”，則有，則有 現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即即 試求試求 .95.0)|(,95.0)|(CAPCAP,005.0)(CP).|(ACP,95.0)|(CAP已知已知,05.0)|(1)|(CAPCAP,

59、005.0)(CP,995.0)(1)(CPCP由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得)()|()()|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP 087.0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6,087.0)|(ACP表示試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的被檢查者確實(shí)患有癌癥表示試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的被檢查者確實(shí)患有癌癥的可能性并不大。的可能性并不大。我們還可計(jì)算得到：我們還可計(jì)算得到：,9997.0)|(ACP表示試驗(yàn)結(jié)果呈陰性的被檢查者未患癌癥的可表示試驗(yàn)結(jié)果呈陰性的被檢查者未患癌癥的可能性極大。能性極大。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6 我們知道，在一般情況下我們知道，在一般情況下),()|(BPABP 但在某些情況下，它們是相等的。但在

60、某些情況下，它們是相等的。例如：例如：一口袋中有一口袋中有8只紅球和只紅球和2只白球，從袋中連只白球，從袋中連續(xù)地取兩次球，每次取一只，然后放回。續(xù)地取兩次球，每次取一只，然后放回。若若A=“第一次取到紅球第一次取到紅球”，B=“第二次第二次取取到紅球到紅球”。則。則.51102)()|(BPABP這里，這里，A的發(fā)生不影響的發(fā)生不影響B(tài)發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。從直觀上從直觀上講，這很自然。在這種場(chǎng)合可以說(shuō)，講，這很自然。在這種場(chǎng)合可以說(shuō)，A與與B出現(xiàn)出現(xiàn)與否有某種與否有某種“獨(dú)立性獨(dú)立性”。).()()(BPAPABP 顯顯然然，此此時(shí)時(shí)有有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6設(shè)設(shè)A,B是兩事件，如果滿足等式

61、是兩事件，如果滿足等式),()()(BPAPABP 則稱事件則稱事件A,B，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱A,B。易證，易證，,0)(,0)(BPAP若若 則則A,B相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與A,B互不相容不能同時(shí)成立?；ゲ幌嗳莶荒芡瑫r(shí)成立。設(shè)設(shè)A,B是兩事件，則有是兩事件，則有);()|(,0)()1(BPABPBAAP 相互獨(dú)立相互獨(dú)立時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)).()|(,0)()2(APBAPBABP 相互獨(dú)立相互獨(dú)立時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)也也是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的。相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則另另外外三三對(duì)對(duì)有有一一對(duì)對(duì)若若四四對(duì)對(duì)事事件件BABABABA,;,;,;,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6設(shè)設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，如果滿足下列四個(gè)等式是三

62、個(gè)事件，如果滿足下列四個(gè)等式),()()(BPAPABP),()()(CPBPBCP),()()(CPAPACP),()()()(CPBPAPABCP 則稱事件則稱事件A,B,C相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。更一般地，更一般地，個(gè)個(gè)事事件件，是是設(shè)設(shè))2(,21 nnAAAn如果對(duì)于其中任意如果對(duì)于其中任意2個(gè)，任意個(gè)，任意3個(gè)，個(gè)，任意，任意n個(gè)個(gè)事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，則稱這則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立。個(gè)事件相互獨(dú)立。個(gè)個(gè)等等式式。上上述述定定義義中中共共有有12)11(1032 nnnnnnnnnCCCCC概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6。個(gè)事件也是相互獨(dú)

63、立的個(gè)事件也是相互獨(dú)立的則其中任意則其中任意相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，若事件若事件)2()2(,)1(21nkknAAAn 個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立。立立事事件件，所所得得的的們們的的對(duì)對(duì)中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨(dú)獨(dú)立立，個(gè)個(gè)事事件件若若nAAAnAAAnnn,)2(,)2(2121 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例1 三個(gè)人獨(dú)立地破譯密碼，個(gè)人能譯出的概率三個(gè)人獨(dú)立地破譯密碼，個(gè)人能譯出的概率分別是分別是41,31,51，問(wèn)該密碼能破譯的概率。，問(wèn)該密碼能破譯的概率。解：解：只要有一人能譯出就可。只要有一人能譯出就可。設(shè)設(shè)B“能譯出能譯出”，3,2,1 iiAi人譯出

64、”人譯出”“由第“由第)()(321AAAPBP )()()()()()()()()(323121321APAPAPAPAPAPAPAPAP )()()(321APAPAP 53413151315141513151413151 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例2：電路由電池：電路由電池 A,B,C 如如圖構(gòu)成。圖構(gòu)成。設(shè)電池設(shè)電池 A,B,C 損損壞與否是相互獨(dú)立且它們損壞與否是相互獨(dú)立且它們損壞的概率依次為壞的概率依次為0.3，0.2，0.2。求這電路的可靠性。求這電路的可靠性。ABC設(shè)設(shè) A,B,C 分別表示電池分別表示電池 A,B,C 正常工作這三事件正常工作這三事件D 表示電路正常工作這一事件。

65、表示電路正常工作這一事件。)(CBAD 則則ACAB )()(ACABPDP)()()(ABCPACPABP )()()()()()()(CPBPAPCPAPBPAP 8.08.07.08.07.08.07.0 672.0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例3：設(shè)一枚深水炸彈擊沉一潛水艇的概率為：設(shè)一枚深水炸彈擊沉一潛水艇的概率為 1/3，擊傷的概率為擊傷的概率為 1/2，擊不中的概率為，擊不中的概率為 1/6。并設(shè)擊傷。并設(shè)擊傷兩次也會(huì)導(dǎo)致潛水艇下沉。求施放兩次也會(huì)導(dǎo)致潛水艇下沉。求施放4枚深水炸彈能擊枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率。沉潛水艇的概率。擊不沉潛水艇的概率擊不沉潛水艇的概率 P=)344(枚枚

66、擊擊不不中中枚枚炸炸彈彈中中一一枚枚擊擊傷傷，枚枚炸炸彈彈都都擊擊不不中中P4)61(314)61(21 C129613 所以施放所以施放4枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率為枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率為1296131 P12961283 98997.0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6例例4 ABC三人在同一辦公室三人在同一辦公室,公用一部電話公用一部電話.據(jù)統(tǒng)計(jì)據(jù)統(tǒng)計(jì)打給打給ABC的電話概率分別為的電話概率分別為,51,52,52三人外出的概率三人外出的概率分別為分別為,41,41,21且三人獨(dú)立行動(dòng)且三人獨(dú)立行動(dòng).求下列概率：求下列概率：(1)無(wú)人接電話；無(wú)人接電話；(2)被呼叫人在辦公室；被呼叫人在辦公室；(3)3個(gè)電話打給同一個(gè)人個(gè)電話打給同一個(gè)人;(4)3個(gè)電話打給不同的人個(gè)電話打給不同的人(5)3個(gè)電話打給個(gè)電話打給B但但B不在。不在。解：解：設(shè)設(shè)A,B,C表示三人表示三人A,B,C在辦公室，在辦公室，;,CBATTTCBA分分別別表表示示有有電電話話給給;43)(;43)(;21211)(CPBPAP;51)(;52)(;52)(CBATPTPTP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6321414121)(