《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)（45頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)1.橢圓的定義橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中橢圓中a,b,c的關(guān)系是的關(guān)系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0(12222babyax)0(12222babxay橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)aF2F1OB2B1A1A2xycbB B2 2F F2 2O O叫橢圓的叫橢圓的特征三角形特征三角形.4.求橢圓

2、的方程：求橢圓的方程：“定、設(shè)、求定、設(shè)、求”.5.“相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程或軌跡求軌跡方程或軌跡.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課):)(0)(1 2222的的性性質(zhì)質(zhì)如如圖圖方方程程 babyax1.范范 圍圍:.,:bybaxa 從從圖圖形形上上看看.,y 11;11:222222222222所所圍圍成成的的矩矩形形內(nèi)內(nèi)故故整整個(gè)個(gè)橢橢圓圓位位于于從從方方程程上上看看axbybybbaxbyaxaaxbyax )0,(a)0,(a),0(b),0(b橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)F2F1Oxy橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)F2F1Oxy橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)

3、A2A1A2F2F1Oxy橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（3）把）把x換成換成-x，同時(shí)把，同時(shí)把y換成換成-y方程不變，圖象方程不變，圖象 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.yxOP(x,y)P1(-x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)0(12222babyax橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)0(12222babyax

4、令令 x=0，得，得 y=？說(shuō)明橢圓與？說(shuō)明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？令令 y=0，得，得 x=？說(shuō)明橢圓與？說(shuō)明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？頂點(diǎn)：頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn).oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸、短軸：線段：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸和短軸.a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)練習(xí)一：練習(xí)一：1、已知橢圓的長(zhǎng)軸、已知橢圓的長(zhǎng)軸A A1 1A A2 2和短

5、軸和短軸B B1 1B B2 2，怎，怎樣標(biāo)出橢圓焦點(diǎn)的位置？樣標(biāo)出橢圓焦點(diǎn)的位置？oB2B1A1A2aaccb因?yàn)橐驗(yàn)閍2=b2+c2,所以以橢圓短軸端點(diǎn)為所以以橢圓短軸端點(diǎn)為圓心圓心,a長(zhǎng)為半徑的圓與長(zhǎng)為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)即為軸的交點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn)橢圓焦點(diǎn).F1F2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)練習(xí)一：練習(xí)一：2、求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)：.82)2(;136100)1(2222yxyx)0,8()0,8)(1(與)2,0()2,0)(2(與橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)上面橢圓的形狀有什么變化？Oxy扁平的程度不同扁平的程度不同橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)Oxy如圖，a不變，也即，a不變，把橢圓的焦距

6、與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 稱為橢圓的離心率離心率，用e表示，即acace b越小越小，橢圓越扁扁.c越大越大，橢圓越扁扁.222cba橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)ace 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：叫做橢圓的離心率叫做橢圓的離心率.1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對(duì)橢圓形狀的影響：離心率對(duì)橢圓形狀的影響：0erd000直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；聯(lián)立直線與橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程消元得到一元二次方程(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0 0時(shí)時(shí))(2)(2)=0=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有

7、一個(gè)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；公共點(diǎn)；(3)(3)0 0 直線與橢圓相離直線與橢圓相離無(wú)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)觀察圖形觀察圖形,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),利用平行于利用平行于直線直線l且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，可以求得相應(yīng)的最小距離直線，可以求得相應(yīng)的最小距離.mml oxyF F1 1F F2 2例例 3 3 已知橢圓已知橢圓221259xy,直線直線 l:45400 xy,橢橢圓上是否存在一點(diǎn)圓上是否存在一點(diǎn),到直線到直線l的距離最小的距離最小?最小距離是多最小距離是多少少?5分析：分析：作出直線作出直線l及橢圓（如圖）及橢圓（如圖）.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)

8、解解:由直線由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢與橢圓不相交（為什么圓不相交（為什么?）.設(shè)直線設(shè)直線m平行于直線平行于直線l,則直線則直線m的方程可以寫成的方程可以寫成450.xyk222582250-yxkxk消消去去，得得，令方程令方程的根的判別式的根的判別式=0，得，得22644252250().kk224501259,xykxy 由由方方程程 組組橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)解方程解方程，得，得122525,.kk 或或由圖可知，當(dāng)由圖可知，當(dāng) k=25 時(shí)，直線時(shí)，直線 m 與橢圓的交點(diǎn)到直線與橢圓的交點(diǎn)到直線l 的距離最近，此時(shí)直線的距離最

9、近，此時(shí)直線 m 的方程為的方程為 4x-5y+25=0.直線直線 m 與直線與直線 l 間的距離間的距離 22|4025|1541414(-5)d 1541.41所以，最小距離是最大距離是最大距離是多少？多少？max2240256541414(5)d橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)變式練習(xí)：變式練習(xí)：當(dāng)m取何值時(shí),直線l：y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切、相交、相離？解：得：消去由,14416922yyxmxy,144)(16922mxx,014416322522mmxx)14416(100102422mm,144005762m,55,0時(shí)或即當(dāng)m;與橢圓相切l(wèi),555,0時(shí)或即當(dāng)m;

10、與橢圓相交l,55,0時(shí)或即當(dāng)mm.與橢圓相離l橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)題型二：弦長(zhǎng)公式題型二：弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：221|1|1ABABABxxkyyk可推廣到任意二次曲線可推廣到任意二次曲線212)1(xxk;4)()1(212212xxxxk221221)(11(yykPP同理可得：.)11(212yyk橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)例6、已知橢圓c的焦點(diǎn)F1 和F2 ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)6,設(shè)直線y=x+2交橢圓c于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng).)0,22()0,22

11、(解：解：,22,3,ca由題意,1,b所以.1922yx所以標(biāo)準(zhǔn)方程為：),(),(),(002211yxMAByxByxA線段中點(diǎn)為設(shè)得：消去由,99222yyxxy,02736102xx,027104362,1027,5182121xxxx,590 x,2),(00上在直線又 xyyx,51200 xy所以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課),1027,5182121xxxx,590 x,2),(00上在直線又 xyyx,51200 xy所以例6、已知橢圓c的焦點(diǎn)F1 和F2 ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)6,設(shè)直線y=x+2交橢圓c于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng).)0,22()0,22();51,59(即中

12、點(diǎn)坐標(biāo)為由弦長(zhǎng)公式得：2122124)(1xxxxkAB10274)518(22.356橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)變式練習(xí)：已知斜率為變式練習(xí)：已知斜率為1的直線的直線l過(guò)橢圓過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn)，交橢圓于的右焦點(diǎn)，交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB之長(zhǎng)之長(zhǎng)222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知(3,0).F右焦點(diǎn):3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122(,),(,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx58425192285.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)例例7已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，

13、1)作一弦，使弦在這點(diǎn)被作一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題與橢圓方程聯(lián)立，消去與橢圓方程聯(lián)立，消去y得：得：還有沒(méi)有別的方法？還有沒(méi)有別的方法？橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)例例 7 已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜

14、率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問(wèn)題：中點(diǎn)弦問(wèn)題點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率112200(,),(,),(,)A x yB xyABM xy設(shè)中點(diǎn)，0120122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221212()()0bxxayy1122(,),(,)A x yB xy由在橢圓上，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問(wèn)題：中點(diǎn)弦

15、問(wèn)題2222221212()()0bxxayy由2221222212 yybxxa即2121221212 AByyxxbkxxayy直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求的直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求的思想方法思想方法 還有沒(méi)有別的方法？還有沒(méi)有別的方法？橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)例例7已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過(guò)而過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線有

16、且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這這一一 條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理?xiàng)l件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理.題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)變式練習(xí)：已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓 所截得的線段的中點(diǎn),求l的方程.193622yx解：設(shè)直線l與橢圓交與A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),由題意：,22,422121yyxx且,1936,193622222121yxyx兩式相減得：,093622212221yyxx,0)(4)(22212221yyxx即

17、,0)(4)(21212121yyyyxxxx所以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)變式、已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓 所截得的線段的中點(diǎn),求l的方程.193622yx,0)(4)(22212221yyxx即,0)(4)(21212121yyyyxxxx所以,0)(16)(82121yyxx所以,211212xxyyk即),4(212xyl的方程為：所以直線.421xy即：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 象象范范 圍圍對(duì)對(duì) 稱稱 性性頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半半 軸軸 長(zhǎng)長(zhǎng)焦焦 距距a,b,c關(guān)系關(guān)系離離 心心 率率22221(0)xyabab22221(0)xyabba關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為短半軸長(zhǎng)為b.焦距為焦距為2c;a2=b2+c2ceab)(0,)0,(aa)(0,)0,(b)0,(c),0(c bybaxa,ayabxb,e越趨近于越趨近于0,橢圓越圓橢圓越圓;e越趨近于越趨近于1,橢圓越扁橢圓越扁.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(講課)阻止你前行的，不是人生道路上的一百塊石頭，而是你鞋子里的那一顆石子.