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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,小學(xué)教育概統(tǒng)課件,小學(xué)教育概統(tǒng)課件小學(xué)教育概統(tǒng)課件4.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義例：某自動化車床一天內(nèi)加工的零件中，出現(xiàn)次品的數(shù)量X是一個隨機變量。由多日統(tǒng)計，得X分布律如下:問車床平均一天出幾個次品？解：設(shè)車床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為2,4.1.1,數(shù)學(xué)期望的

2、定義,例：某自動化車床一天內(nèi)加工的零件中，出現(xiàn)次品的數(shù)量,X,是一個隨機變量。由多日統(tǒng)計，得,X,分布律如下,:,X,0,1,2,3,4,0.15,0.27,0.44,0.10,0.04,問車床平均一天出幾個次品？,解：設(shè)車床工作,100,天，按分布律，理想化后可得平均值為,2,數(shù)學(xué)期望的定義,若級數(shù) 不絕對收斂，我們稱,X,的數(shù)學(xué)期望不存在。,定義,4.1,設(shè)離散型隨機變量,X,的概率分布為,PX=x,k,=p,k,k=1,2,如果級數(shù),絕對收斂，則稱此級數(shù)為,X,的數(shù)學(xué)期望（也稱期望或均值），記為,3,泊松分布的期望,例,4.3,設(shè),X,，則,E(,X)=.,4,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,

3、定義,4.2,設(shè)連續(xù)型隨機變量,X,的密度函數(shù)為,f(x),如果廣義積分,則稱此積分為隨機變量,X,的數(shù)學(xué)期望,記為,絕對收斂，,5,例,4.4,分布的數(shù)學(xué)期望,X,的密度函數(shù),:,解,:,6,例：隨機變量不存在的例子,設(shè)隨機變量,X,服從,Cauchy,分布，其密度函數(shù)為：,這表明積分 不絕對收斂,因而,EX,不存在,.,7,4.1.2,隨機變量函數(shù)的期望,定理,4.1,設(shè),X,為隨機變量，,Y=g(X),是,X,的連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則,(1),若離散型隨機變量,X,PX=x,k,=p,k,k=1,2,，且級數(shù),絕對收斂，則,8,X,P,g(x),P,x1,x2,xn,p1,p2,pn,g

4、(x1),g(x2),g(xn),p1,p2,pn,9,(2),若連續(xù)型隨機變量,X,f(x),，如果廣義,積分,絕對收斂，則,4.1.2,隨機變量函數(shù)的期望,10,例,4.6,某車站開往甲地的班車每小時,10,分,40,分,發(fā)車,一乘客因不知車站發(fā)車的時間,在每,小時的任意時刻都隨機到達(dá)車站,求乘客,的平均等待時間,.,解：設(shè)乘客到達(dá)車站的時間為,X,等車時間為,Y,則,XU0,60,且,11,于是,乘客的平均等待時間,E(Y),為,:,例,4.6,12,定理,4.2,設(shè),(X,Y),為二維隨機變量，,Z=g(X,Y),是,(X,Y),的連續(xù)函數(shù),.,二維隨機變量函數(shù)的期望,(1),設(shè)離散型

5、隨機變量,(X,Y),的概率分布為,PX=x,i,Y=y,j,)=p,ij,i,j=1,2,絕對收斂,則,如果級數(shù),13,(2),若連續(xù)型隨機變量,(X,Y),f(x,y),，如果廣義積分,絕對收斂，則,二維隨機變量函數(shù)的期望,14,例,4.7,兩元件并聯(lián)構(gòu)成系統(tǒng)，由元件壽命,X,及,Y,獨立同分布于,e(0.5),求系統(tǒng)的平均壽命,.,解：寫出,(X,Y),的聯(lián)合密度函數(shù),令,Z,表示系統(tǒng)壽命,則,15,例,4.7,16,4.1.3,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),證,:,設(shè),X,有密度,f(x),，則,17,證,4.1.3,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),18,(4),設(shè),X,i,(i=1,2,n),是,n,個隨機變量，

6、,C,i,(i=1,2,n),是,n,個常數(shù)，則,-,線性性質(zhì),(5),若,X,及,Y,獨立，則,E(XY)=E(X).E(Y),(,獨立時，乘積的期望等于期望的乘積,),4.1.3,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),19,例,4.8,設(shè)隨機變量,（,1,）求,E(X-Y),（,2,）求,（,3,）若,X,及,Y,獨立，求,E(XY).,20,例,4.9,設(shè),XBn,p,則,E,X=np,解：,設(shè),X,表示,n,次獨立重復(fù)試驗中事件,A,發(fā)生的次數(shù),，,則,而,故,21,4.2,方差,4.2.1,方差的定義及計算,定義,4.3,設(shè),X,是隨機變量，若,E(X-EX),2,存在，稱為,X,的方差，記為,D(X)=

7、E(X-EX),2,（或,Var(X),），稱 為標(biāo)準(zhǔn)差。,(,方差本質(zhì)是隨機變量函數(shù)的期望,),度量隨機變量,及,均值的偏離程度,22,方差的計算式,(,實數(shù),),23,例,4.11,例,4.12,24,4.2.2,方差的性質(zhì),(,常數(shù)的方差等于,0),（,1,）,（,2,）,a,b,為常數(shù)，,（,3,）若,X,及,Y,獨立，,25,例,4.13,例,4.14,隨機變量,且,X,，,Y,，,Z,相互獨立，,26,(4),設(shè)隨機變量,X,i,(i=1,2,n),相互獨立，,c,i,(i=1,2,n),是,n,個常數(shù)，則,(5)D(X)=0,存在常數(shù),C,，使得,PX=C=1,，且,C=EX.,

8、4.2.2,方差的性質(zhì),27,4.2.3,變異系數(shù)，矩,定義,4.4,若隨機變量,X,的期望、方差均存在，且 ，則變異系數(shù)為,定義,4.5,若隨機變量,X,對非負(fù)整數(shù),k,有下列期望存在，,X,的,k,階原點矩,X,的,k,階中心矩,28,例,4.15,隨機變量 求,X,的變異系數(shù)，,k,階原點矩及,3,階中心矩。,29,隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè)隨機變量,X,的數(shù)學(xué)期望,E(X),，方差,D(X),均存在，且,D(X)0,，定義一個新的隨機,變量,則,EX*=0,，,DX*=1,，,稱,X*,是隨機變量,X,的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量。,30,定義,4.6,：對二維隨機變量,(X,Y),，,Cov(X,Y)

9、=EX,-,E(X)Y,-,E(Y),稱為,X,及,Y,的協(xié)方差。,4.3.1,協(xié)方差,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,協(xié)方差的計算式為：,特別地，,Cov(X,X)=DX.,31,協(xié)方差的性質(zhì),(1),Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(X,a)=0,(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(4),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),(6),若,X,及,Y,獨立，則,Cov(X,Y)=0.,32,二維向量的數(shù)字特征,對二維隨機變量,(X,Y),稱向量,為,(X,Y),的,協(xié)方差陣。,（可推廣到,n,維）,稱矩陣,為,(X,Y),

10、的,數(shù)學(xué)期望,(,均值向量,).,33,例,4.16 (X,Y),有二維分布律,XY,0 1 2,0,1,1/6 1/12 1/6,1/12 1/3 1/6,求,(X,Y),的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣,.,解,：,(1),先求,X,Y,的邊緣分布律,;,34,例,4.16,(2),計算,X,Y,的期望和方差,得：,(3),為計算,Cov(X,Y),，須計算二維隨機變量函數(shù),Z=XY,的期望：,(4),余下的代入公式計算，見,P123.,35,例,4.17,隨機變量,且,X,Y,獨立,求,D(3X-2Y+Z).,解：本題主要利用協(xié)方差的性質(zhì),D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ,+2Cov(

11、3X-2Y,Z),D(3X-2Y)=?,=D(3X)+D(2Y),2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z),Cov(3X-2Y,Z)=?,36,標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量的協(xié)方差,常數(shù),4.3.2,相關(guān)系數(shù),37,定義,4.4,若隨機變量,X,，,Y,的期望和方差均存在，且,DX0,DY0,，則,稱為,X,及,Y,的相關(guān)系數(shù)。,38,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),定理,4.4 (1)R(X,Y)=R(Y,X),(2)|R(X,Y)|1,(3)|R(X,Y)|=1,的充要條件為：存在常數(shù),a,b,且,a0,使得,P(Y=aX+b)=1.,特別地，若,a0,可得,R(X,Y)=1,稱為,正線性相關(guān)；反之,稱為負(fù)線性相關(guān)。

12、,39,關(guān)于,t,的一元二次方程,f(t),對任意,t,都有,證明：,(2)|R(X,Y)|1,40,獨立,及,不相關(guān),X,Y,獨立時，可以推出,Cov(X,Y)=0,因而可以推出,R(X,Y)=0,即不相關(guān)；,反之不一定成立，即：,X,Y,不相關(guān)不能說明,X,Y,獨立。,例,4.19,設(shè),XU(-1,1),Y=X,2,則,X,Y,不相關(guān),.,解,:,41,例,4.20,設(shè)二維隨機變量,(X,Y),在,G,上均勻分布，,其中,求,X,Y,的期望,及,方差；,證明：,X,與,Y,不相關(guān)，不獨立。,解：寫出,(X,Y),的聯(lián)合密度函數(shù),x+y=1,x-y=1,42,例,4.20,分別求出,X,Y,的邊緣密度函數(shù),同理,:,從而,:,同理,:,x+y=1,x-y=1,43,x+y=1,x-y=1,可見，,X,Y,不相關(guān)。,但是在,G,中，,例,4.20,可見，,X,Y,不獨立。,44,Thank You,世界觸手可及,攜手共進(jìn)，齊創(chuàng)精品工程,