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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第六章 分支限界法,1,第六章 分支限界法,本章主要知識點,6.1 分支限界法的基本思想,6.2 單源最短路徑問題,6.3 裝載問題,6.4 布線問題,6.5 01背包問題,6.6 最大團問題,6.7 旅行售貨員問題,6.8 電路板排列問題,6.9 批處理作業(yè)調(diào)度,2,6.1分支限界法的基本思想,1.分支限界法與回溯法的不同,（1）求解目標(biāo)：,回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。,（2）搜

2、索方式的不同：,回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費優(yōu)先的方式搜索解空間樹。,3,6.1分支限界法的基本思想,2.分支限界法基本思想,分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。,在分支限界法中，每一個活結(jié)點只有一次機會成為擴展結(jié)點?；罱Y(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點。在這些兒子結(jié)點中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點被舍棄，其余兒子結(jié)點被加入活結(jié)點表中。,此后，從活結(jié)點表中取下一結(jié)點成為當(dāng)前擴展結(jié)點，并重復(fù)上述結(jié)點擴展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點表為空時為止。,4,6.1分支限界法的基本思

3、想,3.常見的兩種分支限界法,（1）隊列式(,FIFO),分支限界法,按照隊列先進先出（,FIFO）,原則選取下一個節(jié)點為擴展節(jié)點。,（2）優(yōu)先隊列式分支限界法,按照優(yōu)先隊列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點成為當(dāng)前擴展節(jié)點。,5,6.2單源最短路徑問題,1.問題描述,下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：,在下圖所給的有向圖,G,中，每一邊都有一個非負(fù)邊權(quán)。要求圖,G,的從源頂點,s,到目標(biāo)頂點,t,之間的最短路徑。,6,6.2單源最短路徑問題,下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖,G,的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點所對應(yīng)的當(dāng)前路長。,7,6.2單源最

4、短路徑問題,2.算法思想,解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結(jié)點表。其優(yōu)先級是結(jié)點所對應(yīng)的當(dāng)前路長。,算法從圖,G,的源頂點,s,和空優(yōu)先隊列開始。結(jié)點,s,被擴展后，它的兒子結(jié)點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長的結(jié)點作為當(dāng)前擴展結(jié)點，并依次檢查與當(dāng)前擴展結(jié)點相鄰的所有頂點。如果從當(dāng)前擴展結(jié)點,i,到頂點,j,有邊可達，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點,i,再到頂點,j,的所相應(yīng)的路徑的長度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點作為活結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。這個結(jié)點的擴展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點優(yōu)先隊列為空時為止。,8,6.2單源最短路徑問題,3.剪枝策略,在算法擴展

5、結(jié)點的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長，則算法剪去以該結(jié)點為根的子樹。,在算法中，利用結(jié)點間的控制關(guān)系進行剪枝。從源頂點,s,出發(fā)，2條不同路徑到達圖,G,的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應(yīng)的樹中的結(jié)點為根的子樹剪去。,9,6.2單源最短路徑問題,while(true),/,搜索問題的解空間,for(int j=1;j=n;j+),if(aenode.ij Float.MAX_VALUE&enode.length+aenode.ij distj),/,頂點,i,到頂點,j,可達，且滿足控制約束,distj=enode.length+aenod

6、e.ij;,pj=enode.i;,HeapNode node=new HeapNode(j,distj);,heap.put(node);,/,加入活結(jié)點優(yōu)先隊列,if(heap.isEmpty()break;,else enode=(HeapNode)heap.removeMin();,頂點,I,和,j,間有邊，且此路徑長小于原先從原點到,j,的路徑長,10,6.3 裝載問題,1.問題描述,有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為,C1,和,C2,的輪船，其中集,裝箱,i,的重量為,Wi，,且,裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。,

7、容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。,(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；,(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。,11,6.3 裝載問題,2.隊列式分支限界法,在算法的,while,循環(huán)中，首先檢測當(dāng)前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點是否為可行結(jié)點。如果是則將其加入到活結(jié)點隊列中。然后將其右兒子結(jié)點加入到活結(jié)點隊列中(右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點)。2個兒子結(jié)點都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴展結(jié)點被舍棄。,活結(jié)點隊列中的隊首元素被取出作為當(dāng)前擴展結(jié)點，由于隊列中每一層結(jié)點之后都有一個尾部標(biāo)記-1，故在取隊首元素時，活結(jié)點隊列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時，再判斷當(dāng)前隊列是否為空。如果隊列非

8、空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點隊列，算法開始處理下一層的活結(jié)點。,12,6.3 裝載問題,2.隊列式分支限界法,while(true),if(ew+wi=c)enQueue(ew+wi,i);,/,檢查左兒子結(jié)點,enQueue(ew,i);,/,右兒子結(jié)點總是可行的,ew=(Integer)queue.remove().intValue();,/,取下一擴展結(jié)點,if(ew=-1),if(queue.isEmpty()return bestw;,queue.put(new Integer(-1);,/,同層結(jié)點尾部標(biāo)志,ew=(Integer)queue.remove().intValue(

9、);,/,取下一擴展結(jié)點,i+;,/,進入下一層,13,6.3 裝載問題,3.算法的改進,節(jié)點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè),bestw,是當(dāng)前最優(yōu)解；,ew,是當(dāng)前擴展結(jié)點所相應(yīng)的重量；,r,是剩余集裝箱的重量。則當(dāng),ew+r,bestw,時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。,另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進入左子樹的時候更新,bestw,的值。,14,6.3 裝載問題,3.算法的改進,/,檢查左兒子結(jié)點,int wt=ew+wi;,if(wt bestw)bestw=wt;,/,加入活結(jié)點隊列,if(i be

10、stw&i 0;j-),bestxj=(e.leftChild)?1:0;,e=e.parent;,17,6.3 裝載問題,5.優(yōu)先隊列式分支限界法,解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結(jié)點表?；罱Y(jié)點,x,在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點到結(jié)點,x,的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。,優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點成為下一個擴展結(jié)點。以結(jié)點,x,為根的子樹中所有結(jié)點相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級相同。,在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點成為當(dāng)前擴展結(jié)點，則可以斷言該葉結(jié)點所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。,1

11、8,6.4 布線問題,算法的思想,解此問題的隊列式分支限界法從起始位置,a,開始將它作為第一個擴展結(jié)點。與該擴展結(jié)點相鄰并且可達的方格成為可行結(jié)點被加入到活結(jié)點隊列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格,a,到這些方格的距離為1。,接著，算法從活結(jié)點隊列中取出隊首結(jié)點作為下一個擴展結(jié)點，并將與當(dāng)前擴展結(jié)點相鄰且未標(biāo)記過的方格標(biāo)記為,2,，并存入活結(jié)點隊列。這個過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格,b,或活結(jié)點隊列為空時為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。,19,6.4 布線問題,Position offset=new Position 4;,offset0=new Position(0,1);,/,

12、右,offset1=new Position(1,0);,/,下,offset2=new Position(0,-1);,/,左,offset3=new Position(-1,0);,/,上,定義移動方向的相對位移,for(int i=0;i=size+1;i+),grid0i=gridsize+1i=1;,/,頂部和底部,gridi0=gridisize+1=1;,/,左翼和右翼,設(shè)置邊界的圍墻,20,6.4 布線問題,for(int i=0;i numOfNbrs;i+),nbr.row=here.row+offseti.row;,nbr.col=here.col+offseti.col

13、;,if(gridnbr.rownbr.col=0),/,該方格未標(biāo)記,gridnbr.rownbr.col=gridhere.rowhere.col+1;,if(nbr.row=finish.row),q.put(new Position(nbr.row,nbr.col);,找到目標(biāo)位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。,21,6.5 0-1背包問題,算法的思想,首先，要對輸入數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。,在下面描述的優(yōu)先隊列分支限界法中，節(jié)點的優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。,算法首先檢查當(dāng)前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)

14、點的可行性。如果該左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，則將它加入到子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列中。當(dāng)前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點，僅當(dāng)右兒子結(jié)點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列。當(dāng)擴展到葉節(jié)點時為問題的最優(yōu)值。,22,6.5 0-1背包問題,上界函數(shù),while(i=n&wi=cleft),/n,表示物品總數(shù)，,cleft,為剩余空間,cleft-=wi;,/wi,表示,i,所占空間,b+=pi;,/p,i,表示,i,的價值,i+;,if(i=n)b+=pi/wi*cleft;,/,裝填剩余容量裝滿背包,return b;,/b,為上界函數(shù),23,6.5 0-1背包問題,while(i!=n

15、+1),/,非葉結(jié)點,double wt=cw+wi;,if(wt bestp)bestp=cp+pi;,addLiveNode(up,cp+pi,cw+wi,i+1,enode,true);,up=bound(i+1);,if(up=bestp),/,檢查右兒子節(jié)點,addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);,/,取下一個擴展節(jié)點（略）,分支限界搜索過程,24,6.6 最大團問題,問題描述,給定無向圖,G=(V,，,E),。,如果,U,V,，,且對任意,u,，,v,U,有,(,u,，,v),E,，,則稱,U,是,G,的完全子圖。,G,的完全子圖,U,是,G,

16、的團當(dāng)且僅當(dāng),U,不包含在,G,的更大的完全子圖中。,G,的最大團是指,G,中所含頂點數(shù)最多的團。,下圖,G,中，子集,1,，,2,是,G,的大小為,2,的完全子圖。這個完全子圖不是團，因為它被,G,的更大的完全子圖,1,，,2,，,5,包含。,1,，,2,，,5,是,G,的最大團。,1,，,4,，,5,和,2,，,3,，,5,也是,G,的最大團。,25,6.6 最大團問題,2.上界函數(shù),用變量,cliqueSize,表示與該結(jié)點相應(yīng)的團的頂點數(shù)；,level,表示結(jié)點在子集空間樹中所處的層次；用,cliqueSize+n-level+1,作為頂點數(shù)上界,upperSize,的值。,在此優(yōu)先隊列式分支限界法中，,upperSize,實際上也是優(yōu)先隊列中元素的優(yōu)先級。算法總是從活結(jié)點優(yōu)先隊列中抽取具有最大,upperSize,值的元素作為下一個擴展元素。,26,6.6 最大團問題,3.算法思想,子集樹的根結(jié)點是初始擴展結(jié)點，對于這個特殊的擴展結(jié)點，其,cliqueSize,的值為0。,算法在擴展內(nèi)部結(jié)點時，首先考察其左兒子結(jié)點。在左兒子結(jié)點處，將頂點,i,加入到當(dāng)前團中，并檢查該頂點與當(dāng)