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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣,微積分初步,函數的導數與微分,函數的不定積分與定積分,1,函數、導數與微分,一、變量、常量與函數,變量：,在某一過程中取值會,不斷變化,的量。,常量：,在某一過程中取值,始終不變,的量。,函數：,變量,y,按某種確定的關系隨變量,x,的變化而變化，則稱,y,是,x,的函數,，,x,叫自變量，,y,叫因變量，寫作：,y,=,f,(,x,),例：,y=,3,x,2,+,2,x,y=,5,sinx,y=a,x,y=e,2x,復合函數：,若,y,是,z,的函數,y=f,(z),，而,z,又是,x,的函數,z=,g,(,x,),，則稱,y,是,x,的復合

2、函數，記作：,y=,(,x,)=,f,g,(,x,),例：,y=sin,(,ax,2,+bx+c,),y=,e,sin,(2,x,+3),二、函數的導數,x,y,x,y,y=f,(,x,),x,x+,x,設函數,y=f,(,x,),在,x,處有一增量,x,，相應地函數有增量,y,，則比值,叫函數,y=f,(,x,),在,x,到,x+,x,之間的,平均變化率,。,函數,y=f,(,x,),在,x,處的導數定義為：,例：求函數,y=x,2,在,x=,1,和,x=,3,時的導數值。,解：,由,有,所以當,x=,1,時，,y=,2,，當,x=,3,時，,y=,6,x,y,x,y,y=f,(,x,),x

3、,x+,x,P,Q,導數的幾何意義：,從圖中知道，,y/,x,是過,P,、,Q,兩點的割線的斜率，而當,x,0,時，割線成為過,P,點的切線，因而導數,y=f,(,x,),表示曲線在,x,處,切線的斜率,。,函數,y=f(x),在某處的導數值，就表示了該處切線的斜率，也就是在該點處函數,y=f(x),隨,x,的變化率。,基本函數導數公式,導數的基本運算法則：,（設,u=u(x),v=v(x),）,例,1,：求,y=x,3,ln x,的導數,解,例,2,求,y=sin x/x,的導數,解,二階導數與高階導數,前述函數的導數是,y,對,x,的一階導數，若將一階導數,y,再次對,x,求導，則為二階導

4、數：,同理，將二階導再對,x,求導則為三階導，三階導的導數則為四階導等。,例求,y=x,3,+3x,2,的二階導數,三、函數的極值,x,1,x,2,x,3,x,y,若函數,y=f,(,x,),在某一點,x,1,的函數值,f,(,x,1,),比鄰近各點的函數值都大或都小，則稱,x,1,為一個極值點，,f,(,x,1,),為函數的一個極值。圖中,x,1,和,x,3,為極大值點，,x,2,為極小值點，,f,(,x,1,),和,f,(,x,3,),為極大值，,f,(,x,2,),為極小值。,極值點處的切線一定是水平的，因而極值點的判定條件是：,f,(,x,)=0,極大值點的條件是：,f,(,x,)=0

5、,，,f,(,x,),0,極小值點的條件是：,f,(,x,)=0,，,f,(,x,),0,例求函數,y=4x,3,-3x,2,+5,的極值點和極值,解：因,y=12x,2,-6x,令,y=0,得,x,1,=0,x,2,=1/2,此為其兩個極值點。,又,y=24x-6,，,有,y,(,x,1,)=,-,6,0,，,y,(,x,2,)=6,0,因而,x,1,=0,是極大值點，對應的極大值為,y,1,=5,x,2,=1/2,是極小值點，對應的極小值為,y,2,=19/4,四、函數的微分,例求函數,y=5x+sin x,的微分,函數,y,對自變量,x,的導數,可將,dx,看成是自變量,x,的一個趨于零

6、的微小增量，稱為,自變量的微分,；而相應的將,dy,看成是函數,y,的微小增量，稱為,函數的微分。,有：,2,不定積分,一、原函數,前一節(jié)學了求函數,y=f,(,x,),的導數,f,(,x,),，現若,已知,一函數,F,(,x,),的導數為,f,(,x,),，要求,原函數,F,(,x,),例因,(,x,3,)=3,x,2,，,所以,x,3,為,3,x,2,的原函數,（,sin x,)=,cos x,，,sin x,是,cos x,的原函數,F,(,x,)=,F,(,x,)+,c,，,c,為任意常數，,函數,f,(,x,),的原函數有任意多個：,F,(,x,)+,c,二、不定積分,定義：,函數,

7、f,(,x,),的所有原函數,F,(,x,)+,c,叫,f,(,x,),的,不定積分,，記為：,不定積分的性質：,這說明不定積分是求導數的逆運算。,不定積分公式：,不定積分運算法則：,3.,若能找到函數,u=u,(,x,),，使,且積分,較易求出，則：,例,1,求,解：令,u=1+x,微分得：,du=dx,，有：,例,2,求,解：令,u=ax+b,微分得：,du=adx,，有：,例,3,求,解：令,u=x,2,+1,微分得：,du=2xdx,，有：,例,4,求,解：令,u=e,3x,微分得：,du=3 e,3x,dx,，有：,3,定積分,設函數,y=f,(,x,),在閉區(qū)間,a,b,上連續(xù)，將

8、區(qū)間,a,b,作,n,等分，各小區(qū)間的寬度為,x,，又在各小區(qū)間內選取一點,x,i,得出函數在這些點處的值,f,(,x,i,)(,i,=1,2,3,n,),a,b,x,y,x,i,y=f,(,x,),f,(,x,i,),x,定義：,為函數,f,(,x,),在區(qū)間,a,b,上的,定積分,。,f,(,x,),為被積函數，,a,b,分別為積分下限和上限。,定積分的幾何意義：,a,b,x,y,y=f,(,x,),f,(,x,i,),x,由圖可知,f,(,x,i,),x,為圖中一個小區(qū)間的面積，因而定積分：,表示了區(qū)間,a,b,上，,曲線,y=f,(,x,),下方的面積。,注意：,定積分的值有正也有負，

9、因而這并非通常意義下的面積。,定積分的主要性質：,定積分的計算（牛頓萊布尼茨公式）,若不定積分,則定積分,由此可知：求函數的定積分，通常是先求出其不定積分（原函數,F,(,x,),），再求,F,(,b,),-F,(,a,),例,1,求,解：令,u=x,2,+1,微分得：,du=2xdx,，有：,例,2,求,解：令,u=cos x,微分得：,du=-sin x dx,y,x,y=x,2,y,=4-,x,2,A,B,例,3,求由曲線,y=x,2,和曲線,y=4-x,2,所包圍的面積。,解：先求出兩曲線交點,A,B,的,x,坐標為,:,由定積分的幾何意義知有：,29,以上有不當之處，請大家給與批評指正，謝謝大家！,