《三重積分的變量代換》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《三重積分的變量代換（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、首頁,上頁,返回,下頁,結束,三重積分的變量代換,柱面坐標代換 球面坐標代換,三重積分的對稱性,一、三重積分的換元法,例1.求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:,其中,解:令,則,1.利用柱坐標計算三重積分,就稱為點,M,的柱坐標.,直角坐標與柱面坐標的關系:,坐標面分別為,圓柱面,半平面,平面,因此,適用范圍:,1),積分域,是圓,柱或它在某坐標面上的投影為圓(或一部分),;,2),被積函數(shù),中含有,x,2,+y,2,(,相應地,y,2,+z,2,x,2,+z,2,),形式,.,其中,為由,例2.,計算三重積分,所圍,解:,在柱面坐標系下,及平面,柱面,成半圓柱體.,例3.,計算三重積分,

2、解:,在柱面坐標系下,所圍成.,與平面,其中,由拋物面,原式=,2.利用球坐標計算三重積分,就稱為點,M,的球坐標.,直角坐標與球面坐標的關系,坐標面分別為,球面,半平面,錐面,因此有,適用范圍:,1),積分域,表面是球面或頂點在原點的圓錐面;,2),被積函數(shù),含,x,2,+y,2,+z,2,一類式子.,例4.,計算三重積分,解:,在球面坐標系下,所圍立體.,其中,與球面,3.廣義球坐標變換,直角坐標與廣義球坐標的關系,例13.3.9.橢球 的體積,內(nèi)容小結,積分區(qū)域,多由坐標面,被積函數(shù),形式簡潔,或,坐標系 體積元素 適用情況,直角坐標系,柱面坐標系,球面坐標系,*說明,:,三重積分也有類

3、似二重積分的,換元積分公式:,對應雅可比行列式為,變量可分離.,圍成;,二、利用對稱性化簡三重積分計算,使用對稱性時應注意：,.積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；,.被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的,奇偶性,解,積分域關于三個坐標面都對稱，,被積函數(shù)是 的,奇函數(shù),解,例7.,求曲面,所圍立體體積.,解:,由曲面方程可知,立體位于,xoy,面上部,利用對稱性,所求立體體積為,yoz,面對稱,并與,xoy,面相切,故在球坐標系下所圍立體為,且關于,xoz,輪換對稱性,：,若積分區(qū)域,的表達式中將,x,y,z,依次輪換,表達式不變,則稱,關于,x,y,z,輪換對稱.此時有,例8.,設,是由平面,x+y+z=1,和三個坐標面所圍成的,區(qū)域,求,解:由輪換對稱性,說明,：二重積分也有輪換對稱性.,若積分區(qū)域,D,的表達式中將,x,y,依次輪換,表達式不變,則稱,D,關于,x,y,輪換對稱.此時有,例9.,設,證:由輪換對稱性,1.,將,用三次積分表示,其中,由,所,提示:,綜合例子,六個平面,圍成,2.,設,由錐面,和球面,所圍成,計算,提示:,利用對稱性,用球坐標,3.,計算,所圍成.,其中,由,分析：,若用“先二后一”,則有,計算較繁!,采用“,先一后二,”較好.,所圍,故可,表為,解:,4.,計算,其中,解:,利用對稱性,思考題,練 習 題,練習題答案,