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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,新疆奎屯市第一高級中學 特級教師王新敞,*,人教,A,版高中數(shù)學,必修 章節(jié)復習,(,必修,2),第三章 直線與方程,第,15,講,兩直線的位置關(guān)系與對稱問題,掌握兩直線平行與垂直的條件、點到直線的距離公式、中心對稱和軸對稱的概念，能根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系，能把握對稱的實質(zhì)，并能應用對稱性解題,.,1.,如果直線,l,1,:a,x,+2,y,+1=0,與直線,l,2,:,x,+,y,-2=0,互相垂直，那么,a,的值等于,(,),A.1 B.,C.D.-2,(,一,),由,l,1,l,2,A,1,A

2、,2,+,B,1,B,2,=0,求得,a,=-2.,（二）若兩直線垂直且斜率存在，則,k,1,k,2,=-1,即,()(-1)=-1,得,a,=-2.,D,由點到直線的距離公式得,所以,cos,2,=,得,=,或,.,2.,已知,0,，若點,A,(,sin,-,cos,),到直線,l,:,xsin,+,ycos,=0,的距離為,則,=,.,3,p,或,3.,若點,P,(3,4),、點,Q,（,a,b,),關(guān)于直線,x,-,y,-1=0,對稱，則,(),A.,a,=1,b,=2 B.,a,=2,b,=-1,C.,a,=4,b,=3 D.,a,=5,b,=2,由已知，解得 ，,故選,D.,D,a,

3、=5,b,=2,4.,點,P,（,2,，,-3,）到直線,l,:5,x,-12,y,+6=0,的距離是,；兩條平行直線,4,x,-3,y,+,m,=0,和,8,x,-6,y,+,n,=0,間的距離是,.,點,P,（,2,，,-3,）到直線,l,的距離,d,=,兩平行直線方程可化為,8,x,-6,y,+2,m,=0,8,x,-6,y,+,n,=0,，所以兩直線間的距離,d,=.,4,1.,平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系,若直線,l,1,:,y,=,k,1,x,+,b,1,或,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,=0;,直線,l,2,:,y,=,k,2,x,+,b,2,或,A,2,x,+,B,2,

4、y,+,C,2,=0.,(1),l,1,l,2,且,b,1,b,2,或,_,且,A,2,C,1,-,A,1,C,2,0(,或,B,1,C,2,-,B,2,C,1,0).,(2),l,1,l,2,_,或,_,.,(4),l,1,與,l,2,重合,k,1,=,k,2,且,b,1,=,b,2,或,A,1,B,2,-,A,2,B,1,=0,且,A,1,C,2,-,A,2,C,1,=0(,或,B,1,C,2,-,B,2,C,1,=0).,(3),l,1,與,l,2,相交,A,1,B,2,-,A,2,B,1,0.,2.,點與直線的位置關(guān)系,設點,P,(x,0,y,0,),，直線,l:A,x,+,B,y,+

5、,C=,0,則,(1),點在直線上：,+C=0.,(2),點在直線外：,+C0.,(3),點到直線的距離,d=,_.,特別地，若,l,1,:,A,x,+,B,y,+,C,1,=0,l,2:,A,x,+,B,y,+,C,2,=0,則,l,1,與,l,2,間的距離,d,=,_,.,3.,中心對稱與軸對稱,(1),中心對稱：求,P,(,x,0,y,0,),關(guān)于點,M,(,a,b,),對稱的點,P,的基本方法是轉(zhuǎn)化為,M,是線段,PP,的中點求，即,P,(2,a,-,x,0,2,b,-,y,0,).,特例：當,a,=0,b,=0,時，,P,(,x,0,y,0,),關(guān)于原點的對稱點為,P,(-,x,0,

6、-,y,0,).,_,.,(2),軸對稱：求已知點,P,(,x,0,y,0,),關(guān)于已知直線,l,:,y,=,kx,+,b,的對稱點,P,(,x,y,),的基本方法是轉(zhuǎn)化為求方程組的解,即由,PP,l,線段,PP,的中點,p,0,l,_,.,特例,:,當,k,=0,1,或,b,=0,時，分別有以下規(guī)律：,（,）,P,(,x,y,),關(guān)于,x,軸、,y,軸對稱的點分別為,P,1,(,x,-,y,),P,2,(-,x,y,).,（,）,P,(,x,y,),關(guān)于直線,y,=,x,y,=-,x,對稱的點分別為,_,（,）,P(x,y,),關(guān)于直線,y,=,x,+,b,y,=-,x,+,b,對稱的點分別

7、為,P,5,(,y,-,b,x,+,b,),P,6,(-,y,+,b,-,x,+,b,).,（,）,P,(,x,y,),關(guān)于直線,x,=,a,y,=,b,對稱的點分別為,P,7,(2,a,-,x,y,),P,8,(,x,2,b,-,y,).,注意：當,k,1,，,0,時，不具有上述規(guī)律,.,P,3,(x,y),P,4,(-x,-y).,4.,對稱變換,(1),曲線,C,:,F,(,x,y,)=0,經(jīng)過上述規(guī)律進行變換,f,得曲線,C,則,C,為,C,關(guān)于,f,對稱的曲線,.,(2),若,C,的方程與,C,的方程相同，則證明曲線,C,自身具有對稱性,.,特例：曲線,C,：,F,(,x,y,)=0

8、,關(guān)于,x,軸、,y,軸、原點對稱的曲線,C,的方程分別為,F,(,x,-,y,)=0,F,(-,x,y,)=0,F,(-,x,-,y,)=0;,關(guān)于直線,y,=,x,y,=-,x,y,=,x,+,b,y,=-,x,+,b,對稱的曲線,C,的方程分別是,F,(,y,x)=0,F,(-,y,-,x,)=0,F,(,y,-,b,x,+,b,)=0,F,(-,y,+,b,-,x,+,b,)=0;,關(guān)于直線,x,=,a,y,=,b,點,M,(,a,b,),對稱的曲線,C,的方程分別為,F,(2,a,-,x,y,)=0,F,(,x,2,b,-,y,)=0,F,(2,a,-,x,2,b,-,y,)=0.,

9、題型一,兩條直線位置關(guān)系的判定與運用,例,1,已知兩條直線,l,1,:,ax,-,by,+4=0,和,l,2,:(,a,-1),x,+,y,+,b,=0,求滿足下列條件的,a,、,b,的值,.,(1),l,l,2,，且,l,1,過點,(-3,-1);,(2),l,1,l,2,，且坐標原點到這兩條直線的距離相等,.,(1),由已知可得,l,2,的斜率必存在,所以,k,2,=1-,a,.,若,k,2,=0,，則,1-,a,=0,a,=1.,因為,l,1,l,2,直線,l,1,的斜率,k,1,必不存在，即,b,=0.,又因為,l,1,過點,(-3,-1),，所以,-3,a,+,b,+4=0,即,b,

10、=3,a,-4=-10,（不合題意），,所以此種情況不存在，即,k,2,0.,若,k,2,0,，即,k,1,、,k,2,都存在,.,因為,k,2,=1-,a,k,l,1,l,2,所以,k,1,k,2,=-1,即,(1-,a,)=-1.,又因為,l,1,過點,(-3,-1),，所以,-3,a,+,b,+4=0.,由聯(lián)立，解得,a,=2,b,=2.,(2),因為,l,2,的斜率存在，,l,1,l,2,所以直線,l,1,的斜率存在，所以,k,1,=,k,2,即,=(1-,a,).,又因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，且,l,1,l,2,所以,l,1,、,l,2,在,y,軸上的截距互為相反數(shù),即,=

11、,b,則聯(lián)立解得 或,所以,a,、,b,的值分別為,2,和,-2,或 和,2.,a,=2,a,=,b,=-2,b,=2,在運用直線的斜截式,y,=,kx,+,b,時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況,.,運用直線的一般式,Ax,+,By,+,C,=0,時，要特別注意,A,、,B,為零時的特殊情況,.,另外求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩直線平行或垂直的充要條件；若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究,.,1,已知兩直線,l,1,：,mx,+8,y,+,n,=0,和,l,2,：,2,x,+,my,-1=0,，試確定,m,、,n,的值，使,(1),l,1,與,l,

12、2,相交于點,P,(,m,-1),；,(2),l,1,l,2,;,(3),l,1,l,2,且,l,1,在,y,軸上的截距為,-1.,(1),因為,m,2,-8+,n,=0,且,2,m,-,m,-1=0,所以,m,=1,n,=7.,(2),由,m,m,-82=0,得,m,=4.,由,8(-1)-,n,m,0,，得 或 ，,即,m,=4,n,-2,時，或,m,=-4,n,2,時，,l,1,l,2,.,(3),當且僅當,m,2+8,m,=0,即,m,=0,時，,l,1,l,2,.,又,=-1,所以,n,=8,即,m,=0,n,=8,時，,l,1,l,2,且,l,1,在,y,軸上的截距為,-1.,m,

13、=4,m,=-4,n,-2,n,2,題型二,點到直線的距離及平行線間的距離,例,2,已知三條直線,l,1,:2,x,-,y,+,a,=0,（,a,0,），,l,2,:,-4,x,+2,y,+1=0,和,l,3,:,x,+,y,-1=0,且,l,1,與,l,2,的距離是,.,（,1,）,求,a,的值；,（,2,）,試求一點,P,，使得,P,點同時滿足下列三個條件：,P,是第一象限的點；,P,點到,l,1,的距離是,P,點到,l,2,的距離的 ；,P,點到,l,1,的距離與,P,點到,l,3,的距離之比是,.,(1),由已知,l,1,:4,x,-2,y,+2,a,=0,l,2,:4x-2y-1=0

14、,，,所以,l,1,與,l,2,的距離,d=,即,|2,a,+1|=7,，又,a,0,，所以,a,=3.,(2),設點,P,（,x,0,y,0,),，若,P,滿足條件,則,P,點在與,l,1,、,l,2,平行的直線,l,：,4,x,-2,y,+,c,=0,上，,且 ，解得,c=13,或,.,所以,4,x,0,-2,y,0,+13=0,或,4,x,0,-2,y,0,+=0.,若,P,滿足條件，由點到直線的距離公式，,有 ，,所以,|2,x,0,-,y,0,+3|=|,x,0,+,y,0,-1|,，,所以,x,0,-2,y,0,+4=0,或,3,x,0,+2=0.,又點,P,在第一象限，所以,3,

15、x,0,+2=0,不成立,.,故點,P,(,x,0,y,0,),滿足 ，,解得,(,舍去,),或 ，,解得,所以點,P,(,，,),為同時滿足三個條件的點,求解本題的必需工具是兩個公式：平行線間的距離公式，點到直線的距離公式，與直線,Ax,+,By,+,C,=0,平行的所有直線總能設為,Ax,+,By,+,C,1,=0,的形式；而兩平行線間的距離除用公式外，總能看成是其中一條上的任意一點到另一條直線的距離，最終化歸為點到直線的距離,.,已知直線,l,:,x,-,y,+3=0,，一束光線從點,A,(1,2),處射向,x,軸上一點,B,又從,B,點反射到,l,上的一點,C,，最后從點,C,反射回點

16、,A,.,(1),試判斷由此得到的,ABC,是有限個還是無限個？,(2),依你的判斷,認為是無限個時,請求出所有這樣的,ABC,的面積的最小值；認為是有限個時，請求出這樣的線段,BC,的方程,.,題型三 有關(guān)對稱的確定與應用,例,3,根據(jù)光學性質(zhì)，點,C,在直線,A,B,上，點,C,又在直線,B,A,上,則,A,B,的方程為為,.,由,解得,.,(1),設,B,(,m,0),，點,A,關(guān)于,x,軸的對稱點為,A,(1,-2),點,B,關(guān)于直線,x,-,y,+3=0,的對稱點為,B,(-3,m,+3).,又,B,A,的方程為,y,-2=,由,解得,.,則,即,3,m,2,+8,m,-3=0,解得,m,=,或,m,=-3.,而當,m,=-3,時，點,B,在直線,x,-,y,+3=0,上，不能構(gòu)成三角形，,因此這樣的,ABC,只有一個,.,本例是探究性問題，探究的切入點是充分應用對稱的幾何性質(zhì)及方程思想,.,(2),當,m,=,時，,B,(,0),C(-,),則線段,BC,的方程為,3,x,+,y,-1=0(-,x,).,1.,判斷兩條直線平行或垂直時，既要靈活準確應用等價條件，又要注意與坐