第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明,第4節(jié) 直接證明與間接證明,,1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)． 2．了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)．,[要點(diǎn)梳理] 1．直接證明,已知條件,待證結(jié)論,原因,結(jié)果,待證結(jié)論,充分條件,結(jié)果,產(chǎn)生這一,結(jié)果的原因,已知,可知,未知,必要條件,未知,需知,已知,充分條件,質(zhì)疑探究：綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 提示：(1)分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋求它成立的充分條件．(2)綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它成立的必要條件．(3)分析法易于探索解題思路，綜合法易于過(guò)程表述，在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之．,2．間接證明,Q不成立,[解析] 因?yàn)閍2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. [答案] D,3．(2014·山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是( ) A．方程x2＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 [解析] “方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x2＋ax＋b＝0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根”，所以該命題的否定是“方程x2＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根”． [答案] A,[答案] 3,[答案] －b,,思路點(diǎn)撥 (1)取特殊值代入計(jì)算即可證明； (2)對(duì)照新定義中的3個(gè)條件，逐一代入驗(yàn)證，只有滿足所有條件，才能得出“是理想函數(shù)”的結(jié)論，否則得出“不是理想函數(shù)”的結(jié)論．,拓展提高 用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍： (1)定義明確的問(wèn)題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無(wú)條件的等式或不等式． (2)已知條件明確，并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型．在使用綜合法證明時(shí)，易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達(dá)混亂．,思路點(diǎn)撥 本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法． [證明] ∵m0，∴1＋m0. 所以要證原不等式成立， 只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證．,拓展提高 分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，運(yùn)用分析法必須考慮條件的必要性是否成立．通常采用“欲證—只需證—已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性．,拓展提高 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．,規(guī)范答題11 反證法證明題的規(guī)范答題 典例 (2013·陜西高考)(本小題滿分12分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)q≠1，證明：數(shù)列{an＋1} 不是等比數(shù)列． 審題視角 (1)利用等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式；(2)利用反證法證明要證的結(jié)論． [滿分展示],,提醒：(1)推導(dǎo)Sn時(shí)，不可漏掉q＝1. (2)假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列時(shí)，不可用a1＋1，a2＋1與a3＋1建立關(guān)系來(lái)說(shuō)明矛盾． 【答題模板】 第1步：當(dāng)q＝1時(shí)，求Sn. 第2步：當(dāng)q＝1時(shí)，構(gòu)造qSn. 第3步：錯(cuò)位相減． 第4步：假設(shè)結(jié)論、構(gòu)造等式． 第5步：轉(zhuǎn)化為關(guān)于q的方程，得出矛盾． 第6步：得出正確結(jié)論．,[思維升華] 【方法與技巧】,1．分析法的特點(diǎn)：從未知看需知，逐步靠攏已知． 2．綜合法的特點(diǎn)：從已知看可知，逐步推出未知． 3．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考．實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)．,【失誤與防范】,1．用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論． 2．利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的．,