2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)
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2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)
2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(每個(gè)小題4分,10個(gè)小題共40分)
1.﹣2的相反數(shù)是( ?。?
A.2 B.﹣2 C. D.﹣
【考點(diǎn)】相反數(shù).
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義,只有符號(hào)不同的數(shù)為相反數(shù).
【解答】解:根據(jù)相反數(shù)的定義,﹣2的相反數(shù)是2.
故選:A.
2.如圖,直線a∥b,若∠1=40,∠2=55,則∠3等于( )
A.85 B.95 C.105 D.115
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠4=∠3,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠3的度數(shù).
【解答】解:∵直線a∥b,
∴∠4=∠3,
∵∠1+∠2=∠4,
∴∠3=∠1+∠2=95.
故選B.
3.已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為m、n,則m+n的值為( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出m+n的值,由此即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為m、n,
∴m+n=﹣=2.
故選D.
4.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若AB=2,∠ABC=60,則BD的長(zhǎng)為( ?。?
A.2 B.3 C. D.2
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)知AC垂直平分BD,再證出△ABC是正三角形,由三角函數(shù)求出BO,即可求出BD的長(zhǎng).
【解答】解:∵四邊形ABCD菱形,
∴AC⊥BD,BD=2BO,
∵∠ABC=60,
∴△ABC是正三角形,
∴∠BAO=60,
∴BO=sin60?AB=2=,
∴BD=2.
故選:D.
5.小明在某商店購(gòu)買商品A、B共兩次,這兩次購(gòu)買商品A、B的數(shù)量和費(fèi)用如表:
購(gòu)買商品A的數(shù)量(個(gè))
購(gòu)買商品B的數(shù)量(個(gè))
購(gòu)買總費(fèi)用(元)
第一次購(gòu)物
4
3
93
第二次購(gòu)物
6
6
162
若小麗需要購(gòu)買3個(gè)商品A和2個(gè)商品B,則她要花費(fèi)( )
A.64元 B.65元 C.66元 D.67元
【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元,商品B的標(biāo)價(jià)為y元,由題意得等量關(guān)系:①4個(gè)A的花費(fèi)+3個(gè)B的花費(fèi)=93元;②6個(gè)A的花費(fèi)+6個(gè)B的花費(fèi)=162元,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組,再解即可.
【解答】解:設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元,商品B的標(biāo)價(jià)為y元,
根據(jù)題意,得,
解得:.
答:商品A的標(biāo)價(jià)為12元,商品B的標(biāo)價(jià)為15元;
所以312+215=66元,
故選C
6.已知一次函數(shù)y1=ax+c和反比例函數(shù)y2=的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的大致圖象是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象找出a、b、c的正負(fù),再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣,找出二次函數(shù)對(duì)稱軸在y軸左側(cè),比對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵一次函數(shù)y1=ax+c圖象過(guò)第一、二、四象限,
∴a<0,c>0,
∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c開(kāi)口向下,與y軸交點(diǎn)在x軸上方;
∵反比例函數(shù)y2=的圖象在第二、四象限,
∴b<0,
∴﹣<0,
∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c對(duì)稱軸在y軸左側(cè).
滿足上述條件的函數(shù)圖象只有B選項(xiàng).
故選B.
7.不等式組的整數(shù)解有三個(gè),則a的取值范圍是( ?。?
A.﹣1≤a<0 B.﹣1<a≤0 C.﹣1≤a≤0 D.﹣1<a<0
【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解有三個(gè),確定出a的范圍即可.
【解答】解:不等式組的解集為a<x<3,
由不等式組的整數(shù)解有三個(gè),即x=0,1,2,得到﹣1≤a<0,
故選A
8.2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形,如圖所示,如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么(a+b)2的值為( ?。?
A.13 B.19 C.25 D.169
【考點(diǎn)】勾股定理的證明.
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值,原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解:根據(jù)題意得:c2=a2+b2=13,4ab=13﹣1=12,即2ab=12,
則(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25,
故選C
9.將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體水平放于桌面(始終保持正方體的一個(gè)面落在桌面上),則該正方體正視圖面積的最大值為( ?。?
A.2 B. +1 C. D.1
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.
【分析】先求得正方體的一個(gè)面的上的對(duì)角線的長(zhǎng)度,然后可求得正方體視圖面積的最大值.
【解答】解:正方體正視圖為正方形或矩形.
∵正方體的棱長(zhǎng)為1,
∴邊長(zhǎng)為1.
∴每個(gè)面的對(duì)角線的長(zhǎng)為=.
∴正方體的正視圖(矩形)的長(zhǎng)的最大值為.
∵始終保持正方體的一個(gè)面落在桌面上,
∴正視圖(矩形)的寬為1.
∴最大值面積=1=.
故選:C.
10.如圖,在等腰直角△ABC中,∠C=90,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),且AB=,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交,交點(diǎn)分別為D、E,則CD+CE=( ?。?
A. B. C.2 D.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】連接OC構(gòu)建全等三角形,證明△ODC≌△OEB,得DC=BE;把CD+CE轉(zhuǎn)化到同一條線段上,即求BC的長(zhǎng);通過(guò)等腰直角△ABC中斜邊AB的長(zhǎng)就可以求出BC=,則CD+CE=AB=.
【解答】解:連接OC,
∵等腰直角△ABC中,AB=,
∴∠B=45,
∴cos∠B=,
∴BC=cos45==,
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),
∴OC=AB=OB,OC⊥AB,
∴∠COB=90,
∵∠DOC+∠COE=90,∠COE+∠EOB=90,
∴∠DOC=∠EOB,
同理得∠ACO=∠B,
∴△ODC≌△OEB,
∴DC=BE,
∴CD+CE=BE+CE=BC=,
故選B.
二、填空題(每個(gè)小題4分,6個(gè)小題共24分)
11.tan60= .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接得出答案即可.
【解答】解:tan60的值為.
故答案為:.
12.分解因式:x3﹣x2﹣20x= x(x+4)(x﹣5)?。?
【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等;因式分解-提公因式法.
【分析】先提取公因式,再利用十字相乘法把原式因式分解即可.
【解答】解:原式=x(x2﹣x﹣20)
=x(x+4)(x﹣5).
故答案為:x(x+4)(x﹣5).
13.在一個(gè)不透明的箱子中裝有4件同型號(hào)的產(chǎn)品,其中合格品3件、不合格品1件,現(xiàn)在從這4件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件檢測(cè),則抽到的都是合格品的概率是 ?。?
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖,然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到的都是合格品的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:畫(huà)樹(shù)狀圖得:
∵共有12種等可能的結(jié)果,抽到的都是合格品的有6種情況,
∴抽到的都是合格品的概率是: =.
故答案為:.
14.如圖,在△ACB中,∠BAC=50,AC=2,AB=3,現(xiàn)將△ACB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50得到△AC1B1,則陰影部分的面積為 π .
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,由此可得S陰影=,根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵,
∴S陰影==πAB2=π.
故答案為:π.
15.如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y1=(x>0)圖象上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線,交反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象于點(diǎn)B,連接OA、OB,若△OAB的面積為2,則k的值為 5?。?
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】延長(zhǎng)BA,與y軸交于點(diǎn)C,由AB與x軸平行,得到BC垂直于y軸,利用反比例函數(shù)k的幾何意義表示出三角形AOC與三角形BOC面積,由三角形BOC面積減去三角形AOC面積表示出三角形AOB面積,將已知三角形AOB面積代入求出k的值即可.
【解答】解:延長(zhǎng)BA,與y軸交于點(diǎn)C,
∵AB∥x軸,
∴BC⊥y軸,
∵A是反比例函數(shù)y1=(x>0)圖象上一點(diǎn),B為反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象上的點(diǎn),
∴S△AOC=,S△BOC=,
∵S△AOB=2,即﹣=2,
解得:k=5,
故答案為:5
16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上,OC=3,OA=2,D是BC的中點(diǎn),將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD,延長(zhǎng)OG交AB于點(diǎn)E,連接DE,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 (,)?。?
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);坐標(biāo)與圖形性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】過(guò)點(diǎn)G作GF⊥OA于點(diǎn)F,根據(jù)全等直角三角形的判定定理(HL)證出Rt△DGE≌Rt△DBE,從而得出BE=GE,根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于AE長(zhǎng)度的方程,解方程可得出AE的長(zhǎng)度,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出比例關(guān)系,代入數(shù)據(jù)即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo).
【解答】解:過(guò)點(diǎn)G作GF⊥OA于點(diǎn)F,如圖所示.
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
∴DC=DB=DG,
∵四邊形OABC是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,∠C=∠OGD=∠ABC=90.
在Rt△DGE和Rt△DBE中,,
∴Rt△DGE≌Rt△DBE(HL),
∴BE=GE.
設(shè)AE=a,則BE=3﹣a,DE==,OG=OC=3,
∴OE=OG++GE,即=3+3﹣a,
解得:a=1,
∴AE=1,OE=5.
∵GF⊥OA,EA⊥OA,
∴GF∥EA,
∴,
∴OF===,GF===,
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,).
故答案為:(,).
三、解答題(8個(gè)小題,共86分)
17.計(jì)算:()﹣2+(π﹣3.14)0﹣||﹣2cos30.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡(jiǎn)四個(gè)考點(diǎn).在計(jì)算時(shí),需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.
【解答】解:原式=4+1﹣(2﹣)﹣2=5﹣2+﹣=3.
18.先化簡(jiǎn): ?(x),然后x在﹣1,0,1,2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)代入求值.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化簡(jiǎn)原分式,再分析給定的數(shù)據(jù)中使原分式有意義的x的值,將其代入化簡(jiǎn)后的算式中即可得出結(jié)論.
【解答】解:原式=??,
=?,
=x+1.
∵在﹣1,0,1,2四個(gè)數(shù)中,使原式有意義的值只有2,
∴當(dāng)x=2時(shí),原式=2+1=3.
19.解方程: +=1.
【考點(diǎn)】解分式方程.
【分析】觀察可得最簡(jiǎn)公分母是(x﹣1)(x+1),方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母,可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
【解答】解:方程的兩邊同乘(x﹣1)(x+1),得
(x+1)2﹣4=(x﹣1)(x+1),解得x=1.
檢驗(yàn):把x=1代入(x﹣1)(x+1)=0.
所以原方程的無(wú)解.
20.黔東南州某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外學(xué)習(xí)實(shí)踐情況,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),設(shè)學(xué)生時(shí)間為t(小時(shí)),A:t<1,B:1≤t<1.5,C:1.5≤t<2,D:t≥2,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)本次抽樣調(diào)查中,學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)落在哪個(gè)等級(jí)內(nèi)?
(3)表示B等級(jí)的扇形圓心角α的度數(shù)是多少?
(4)在此次問(wèn)卷調(diào)查中,甲班有2人平均每天課外學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)2小時(shí),乙班有3人平均每天課外學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)2小時(shí),若從這5人中任選2人去參加座談,試用列表或化樹(shù)狀圖的方法求選出的2人來(lái)自不同班級(jí)的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法;扇形統(tǒng)計(jì)圖;條形統(tǒng)計(jì)圖;中位數(shù).
【分析】(1)根據(jù)B類的人數(shù)和所占的百分比即可求出總數(shù);求出C的人數(shù)從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(2)根據(jù)中位數(shù)定義:將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可得答案;
(3)用B的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360,即可得到圓心角α的度數(shù);
(4)先設(shè)甲班學(xué)生為A1,A2,乙班學(xué)生為B1,B2,B3根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)形圖,再根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可.
【解答】解:(1)共調(diào)查的中學(xué)生數(shù)是:8040%=200(人),
C類的人數(shù)是:200﹣60﹣80﹣20=40(人),
如圖1:
(2)本次抽樣調(diào)查中,學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)落在C等級(jí)內(nèi);
(3)根據(jù)題意得:α=360=54,
(4)設(shè)甲班學(xué)生為A1,A2,乙班學(xué)生為B1,B2,B3,
一共有20種等可能結(jié)果,其中2人來(lái)自不同班級(jí)共有12種,
∴P(2人來(lái)自不同班級(jí))==.
21.黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng),帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上,某天在太陽(yáng)光的照射下,電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30,在C處測(cè)得電線桿頂端A得仰角為45,斜坡與地面成60角,CD=4m,請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB).
(結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題;解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于G,作DH⊥BG于H,由三角函數(shù)求出求出CH、DH的長(zhǎng),得出CG,設(shè)AB=xm,根據(jù)正切的定義求出BG,得出方程,解方程即可.
【解答】解:延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于G,作DH⊥BG于H,如圖所示:
在Rt△DHC中,∠DCH=60,CD=4,
則CH=CD?cos∠DCH=4cos60=2,DH=CD?sin∠DCH=4sin60=2,
∵DH⊥BG,∠G=30,
∴HG===6,
∴CG=CH+HG=2+6=8,
設(shè)AB=xm,
∵AB⊥BG,∠G=30,∠BCA=45,
∴BC=x,BG===x,
∵BG﹣BC=CG,
∴x﹣x=8,
解得:x≈11(m);
答:電線桿的高為11m.
22.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,弦CD⊥AB,垂足為E,且PC2=PE?PO.
(1)求證:PC是⊙O的切線.
(2)若OE:EA=1:2,PA=6,求⊙O的半徑.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);垂徑定理;切線的判定.
【分析】(1)連結(jié)OC,如圖,由PC2=PE?PO和公共角可判斷△PCE∽△POC,則∠PEC=∠PCO=90,然后根據(jù)切線的判定定理可判斷PC是⊙O的切線;
(2)設(shè)OE=x,則EA=2x,OA=OC=3x,證明△OCE∽△OPC,利用相似比可表示出OP,則可列方程3x+6=9x,然后解出x即可得到⊙O的半徑.
【解答】(1)證明:連結(jié)OC,如圖,
∵CD⊥AB,
∴∠PEC=90,
∵PC2=PE?PO,
∴PC:PO=PE:PC,
而∠CPE=∠OPC,
∴△PCE∽△POC,
∴∠PEC=∠PCO=90,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)OE=x,則EA=2x,OA=OC=3x,
∵∠COE=∠POC,∠OEC=∠OCP,
∴△OCE∽△OPC,
∴OC:OP=OE:OC,即3x:OP=x:3x,解得OP=9x,
∴3x+6=9x,解得x=1,
∴OC=3,
即⊙O的半徑為3.
23.凱里市某文具店某種型號(hào)的計(jì)算器每只進(jìn)價(jià)12元,售價(jià)20元,多買優(yōu)惠,優(yōu)勢(shì)方法是:凡是一次買10只以上的,每多買一只,所買的全部計(jì)算器每只就降價(jià)0.1元,例如:某人買18只計(jì)算器,于是每只降價(jià)0.1(18﹣10)=0.8(元),因此所買的18只計(jì)算器都按每只19.2元的價(jià)格購(gòu)買,但是每只計(jì)算器的最低售價(jià)為16元.
(1)求一次至少購(gòu)買多少只計(jì)算器,才能以最低價(jià)購(gòu)買?
(2)求寫(xiě)出該文具店一次銷售x(x>10)只時(shí),所獲利潤(rùn)y(元)與x(只)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)一天,甲顧客購(gòu)買了46只,乙顧客購(gòu)買了50只,店主發(fā)現(xiàn)賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多,請(qǐng)你說(shuō)明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因;當(dāng)10<x≤50時(shí),為了獲得最大利潤(rùn),店家一次應(yīng)賣多少只?這時(shí)的售價(jià)是多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)一次購(gòu)買x只,由于凡是一次買10只以上的,每多買一只,所買的全部計(jì)算器每只就降低0.10元,而最低價(jià)為每只16元,因此得到20﹣0.1(x﹣10)=16,解方程即可求解;
(2)由于根據(jù)(1)得到x≤50,又一次銷售x(x>10)只,因此得到自變量x的取值范圍,然后根據(jù)已知條件可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)首先把函數(shù)變?yōu)閥=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5,然后可以得到函數(shù)的增減性,再結(jié)合已知條件即可解決問(wèn)題.
【解答】解:(1)設(shè)一次購(gòu)買x只,
則20﹣0.1(x﹣10)=16,
解得:x=50.
答:一次至少買50只,才能以最低價(jià)購(gòu)買;
(2)當(dāng)10<x≤50時(shí),
y=[20﹣0.1(x﹣10)﹣12]x=﹣0.1x2+9x,
當(dāng)x>50時(shí),y=(16﹣12)x=4x;
綜上所述:y=;
(3)y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5,
①當(dāng)10<x≤45時(shí),y隨x的增大而增大,即當(dāng)賣的只數(shù)越多時(shí),利潤(rùn)更大.
②當(dāng)45<x≤50時(shí),y隨x的增大而減小,即當(dāng)賣的只數(shù)越多時(shí),利潤(rùn)變小.
且當(dāng)x=46時(shí),y1=202.4,
當(dāng)x=50時(shí),y2=200.
y1>y2.
即出現(xiàn)了賣46只賺的錢比賣50只賺的錢多的現(xiàn)象.
當(dāng)x=45時(shí),最低售價(jià)為20﹣0.1(45﹣10)=16.5(元),此時(shí)利潤(rùn)最大.
24.如圖,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B、C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱軸為直線x=2.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)連接PB、PC,求△PBC的面積;
(3)連接AC,在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,已知對(duì)稱軸的解析式以及B點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出A的坐標(biāo),利用拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn),可用待定系數(shù)法來(lái)求函數(shù)的解析式
(2)首先利用各點(diǎn)坐標(biāo)得出得出△PBC是直角三角形,進(jìn)而得出答案;
(3)本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo),然后求出BP的長(zhǎng),進(jìn)而分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)=,∠PBQ=∠ABC=45時(shí),根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng),根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC的長(zhǎng),已經(jīng)求出了PB的長(zhǎng)度,那么可根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長(zhǎng),即可得出Q的坐標(biāo).
②當(dāng)=,∠QBP=∠ABC=45時(shí),可參照①的方法求出Q的坐標(biāo).
③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè),即可得出∠PBQ≠∠BAC,因此此種情況是不成立的,綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標(biāo).
【解答】解:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B,
∴當(dāng)y=0時(shí),x=3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∵y=﹣x+3過(guò)點(diǎn)C,易知C(0,3),
∴c=3.
又∵拋物線過(guò)x軸上的A,B兩點(diǎn),且對(duì)稱軸為x=2,
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).
又∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,0),
∴
解得:
∴該拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3;
(2)如圖1,∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
又∵B(3,0),C(0,3),
∴PC===2,PB==,
∴BC===3,
又∵PB2+BC2=2+18=20,PC2=20,
∴PB2+BC2=PC2,
∴△PBC是直角三角形,∠PBC=90,
∴S△PBC=PB?BC=3=3;
(3)如圖2,由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,得P(2,﹣1),
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M,
∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,
∴∠PBM=45,PB=.
由點(diǎn)B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45,
由勾股定理,得BC=3.
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
①當(dāng)=,∠PBQ=∠ABC=45時(shí),△PBQ∽△ABC.
即=,
解得:BQ=3,
又∵BO=3,
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,
∴Q1的坐標(biāo)是(0,0).
②當(dāng)=,∠QBP=∠ABC=45時(shí),△QBP∽△ABC.
即=,
解得:QB=.
∵OB=3,
∴OQ=OB﹣QB=3﹣,
∴Q2的坐標(biāo)是(,0).
③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè),
則∠PBQ=180﹣45=135,∠BAC<135,
故∠PBQ≠∠BAC.
則點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上,
綜上所述,在x軸上存在兩點(diǎn)Q1(0,0),Q2(,0),
能使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
2016年8月10日
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