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1、無窮級數(shù) 知識點總復習 本章重點是判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性，冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和． §7.1 數(shù)項級數(shù) 本節(jié)重點是級數(shù)的性質，正項級數(shù)的幾個判別法，交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂． ● 常考知識點精講 一、數(shù)項級數(shù)的概念 1．數(shù)項級數(shù)定義 定義：設是一個數(shù)列，則稱表達式 為一個數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中第項稱為級數(shù)的通項或一般項，稱為級數(shù)的前項部分和． 2．級數(shù)收斂的定義 定義：若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，則稱級數(shù)收斂，極限值稱為此級數(shù)的

2、和．當不存在時，則稱級數(shù)發(fā)散． 利用級數(shù)收斂的定義，易知當時，幾何級數(shù)收斂，和為；當，幾何級數(shù)發(fā)散． [例1.1] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ 解：⑴由于 所以 ，故級數(shù)收斂． ⑵ 由于 所以，故級數(shù)發(fā)散． 二、級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件 1．設都收斂，和分別為，則必收斂，且； 評注：若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散；若都發(fā)散，則可能發(fā)散也可能收斂． 2．設為非零常數(shù)，則級數(shù)與有相同的斂散性； 3．改變級數(shù)的前有限項，不影響級數(shù)的斂散性； 4．級數(shù)收斂的必要條件：如果收斂

3、，則； 5．收斂的級數(shù)在不改變各項次序前提下任意加括號得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變． 評注：若某級數(shù)添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散． [例1.2] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ 解：⑴由于收斂，發(fā)散，所以 發(fā)散， 由性質5的“注”可知級數(shù)發(fā)散； ⑵ 由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以級數(shù) 發(fā)散． 三、正項級數(shù)及其斂散性判別法 各項為非負（）的級數(shù)稱為正項級數(shù)． 1．正項級數(shù)收斂的基本定理 定理：設是正項級數(shù)的部分和數(shù)列，則正項級數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列有界． 當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散．（時的級數(shù)也叫調和級數(shù)） 2

4、．正項級數(shù)的比較判別法 定理：（正項級數(shù)比較判別法的非極限形式） 設都是正項級數(shù)，并設，則 ⑴ 若收斂，則收斂； ⑵ 若發(fā)散，則發(fā)散． 定理：（正項級數(shù)比較判別法的極限形式） 設都是正項級數(shù)，并設或為，則 ⑴ 當為非零常數(shù)時，級數(shù)有相同的斂散性； ⑵ 當時，若收斂，則必有收斂； ⑶ 當時，若發(fā)散，則必有發(fā)散． 評注：用比較判別法的比較對象常取級數(shù)與等比級數(shù)及． 3．正項級數(shù)的比值判別法 定理：設是正項級數(shù)，若或為，則級數(shù)有 ⑴ 當時，收斂； ⑵ 當或時，發(fā)散； ⑶ 當時，斂散性不確定． 評注：⑴ 若，則級數(shù)必發(fā)散； ⑵ 如果正項級數(shù)通項中含有階乘，一般用比值判

5、別法判定該級數(shù)的斂散性； ⑶ 當1或不存在（但不為），則比值判別法失效． 4．正項級數(shù)的根值判別法 將比值判別法中的改成，其它文字敘述、結論均不改動，即為根值判別法． 5．利用通項關于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性 定理：設是正項級數(shù)，為的階無窮小，則當時，正項級數(shù)收斂；當時，正項級數(shù)發(fā)散． [例1.3] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解：⑴ 由于，而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散； ⑵ 由于，所以由比值判別法可得，原級數(shù)收斂； ⑶ 由于，所以由根值判別法可知，原級數(shù)收斂； ⑷ 由于為的階無窮小，所以原級數(shù)收斂． 四、

6、交錯級數(shù)及其斂散性判別法 1．交錯級數(shù)定義 定義：若級數(shù)的各項是正項與負項交錯出現(xiàn)，即形如 的級數(shù)，稱為交錯級數(shù)． 2．交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法 定理：若交錯級數(shù)滿足條件 ⑴ ； ⑵ ， 則交錯級數(shù)收斂，其和其余項滿足． 五、任意項級數(shù)及其絕對收斂 若級數(shù)的各項為任意實數(shù)，則稱它為任意項級數(shù)． 1．條件收斂、絕對收斂 若收斂，則稱絕對收斂；若發(fā)散但收斂，則稱條件收斂． 評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和． 2．任意項級數(shù)的判別法 定理：若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂．即絕對收斂的級數(shù)一定收斂． [例1.4] 判斷下

7、列級數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂 ⑴ ⑵ 解：⑴ 記 因為 所以級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂且為絕對收斂； ⑵ 記 由于，而發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散 又是一交錯級數(shù)，，且，由萊布尼茲定理知，原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂． ●● ?？碱}型及其解法與技巧 一、概念、性質的理解 [例7.1.1] 已知，，則級數(shù)的和等于__________. 解：由于，所以根據(jù)級數(shù)的性質可得 從而 因此． [例7.1.2] 設，則下列級數(shù)中肯定收斂的是 （A）； （B）； （C）；

8、 （D） 解：取，則，此時（A）與（C）都發(fā)散； 若取，則，此時（B）發(fā)散； 由排除法可得應選（D）． 事實上，若，則，根據(jù)“比較判別法”得收斂．從而 收斂，故應選（D）． [例7.1.3] 已知級數(shù)發(fā)散，則 （A）一定收斂， （B）一定發(fā)散 （C）不一定收斂 （D） 解：假設收斂，則根據(jù)級數(shù)斂散的性質，不改變各項的次序加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂，即也收斂．這與已知矛盾，故一定發(fā)散．應選（B）． [例7.1.4] 設正項級數(shù)

9、的部分和為，又，已知級數(shù)收斂，則級數(shù)必 （A）收斂 （B）發(fā)散 （C）斂散性不定 （D）可能收斂也可能發(fā)散 解：由于級數(shù)收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得，又，所以，故級數(shù)發(fā)散，故應選（B）． [例7.1.5] 設有命題 （1） 若收斂，則收斂； （2）若為正項級數(shù)，且，則收斂； （3）若存在極限，且收斂，則收斂； （4）若，又與都收斂，則收斂． 則上述命題中正確的個數(shù)為 （A） （B） （C） （D） 解：關于命題（1），令，則收斂，但發(fā)散，所以不正確；

10、 關于命題（2），令，則為正項級數(shù)，且，但發(fā)散，所以不正確； 關于命題（3），令，則在極限，且收斂，但發(fā)散，所以不正確； 關于命題（4），因為，所以，因為與都收斂，所以由“比較判別法”知收斂，故收斂．故應選（A）． 二、正項級數(shù)斂散性的判定 正項級數(shù)判別斂散的思路：①首先考察（若不為零，則級數(shù)發(fā)散；若等于零，需進一步判定）；②根據(jù)一般項的特點選擇相應的判別法判定． 評注：⑴ 若一般項中含有階乘或者的乘積形式，通常選用比值判別法： ⑵ 若一般項中含有以為指數(shù)冪的因式，通常采用根值判別法： ⑶ 若一般項中含有形如（為實數(shù)）的因式，通常采用比較判別法． ⑷ 如果以上方法還

11、行不通時，則可考慮用斂散的定義判定． [例7.1.6] 判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）用比值法． ， 所以原級數(shù)收斂． （2）用比值法． ， 所以原級數(shù)收斂． （3）用根值法． ， 所以原級數(shù)發(fā)散． （4）用比較法． 取，因為，而收斂， 所以原級數(shù)收斂． （5）用比較法． 取，因為，而發(fā)散，

12、所以原級數(shù)發(fā)散． （6）由于，故由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散． 評注：在考研題中遇到該類問題應①先看當時，級數(shù)的通項是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或級數(shù)，因為這兩種級數(shù)的斂散性已知．如果不是幾何級數(shù)或級數(shù)，則③用比值判別法進行判定，如果比值判別法失效，則④再用比較判別法進行判定．常用來做比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)、級數(shù)等． [例7.1.7] 判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） 分析：用比值判別法失效，用比較判別法不易找到用來作比較的級數(shù)，此時一般利用通項關于無窮小的階判定正項

13、級數(shù)的斂散性． 解：（1）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達法則， 取，上述極限值為． 所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂． （2）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達法則， 取，上述極限值為． 所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂． [例7.1.8] 研究下列級數(shù)的斂散性 （1）（是常數(shù)）； （2），這里為任意實數(shù)，為非負實數(shù)． 分析：此例中兩個級數(shù)的通項都含有參數(shù)．一般說來，級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有關．對這種情況通常由比值判別法進行討論． 解：（1）記，由比值判別法可得 顯

14、然，當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散； 當時，由于，所以，故級數(shù)發(fā)散． （2）記，由比值判別法可得 顯然，當，為任意實數(shù)時，級數(shù)收斂；當時，為任意實數(shù)時，級數(shù)發(fā)散；當時，比值判別法失效．這時，由級數(shù)的斂散性知，當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散． [例7.1.9] 判別下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） 分析：此例兩個級數(shù)的通項都是由積分給出的正項級數(shù)．如果能把積分求出來，再判定其斂散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大．常用的方法是利用積分的性質對積分進行估值．估值要適當：若放大則不等式右端應是某收斂的正項級數(shù)的通項

15、；若縮小，則不等式左端應是某發(fā)散的正項級數(shù)的通項． 解：（1）因為時，，所以 由于級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂． （2）因為函數(shù)在區(qū)間上單減，所以 由于，又因為級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂． 三、交錯級數(shù)判定斂散 判別交錯級數(shù)斂散性的方法： 法一：利用萊布尼茲定理； 法二：判定通項取絕對值所成的正項級數(shù)的斂散性，若收斂則原級數(shù)絕對收斂； 法三：將通項拆成兩項，若以此兩項分別作通項的級數(shù)都收斂則原級數(shù)收斂；若一收斂另一發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散； 法四：將級數(shù)并項，若并項后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散． 評注

16、：法二、法三和法四適應于不單調減少或判定單調很困難的交錯級數(shù)． [例7.1.10] 判定下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） （3） （4） 解：（1）該級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然． 令，則，所以單調減少． 由萊布尼茲判別法可知，原級數(shù)收斂． （2）不難得到數(shù)列不單調．而 ， 顯然，級數(shù)發(fā)散； 又級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然滿足， 令，則，所以單調減少，由萊布尼茲判別法可得，級數(shù)收斂． 故由級數(shù)斂散的性質可得，原級數(shù)發(fā)散． （3）不難得到不單調，但有 即加括號后得到的新級數(shù)發(fā)

17、散，利用級數(shù)的性質可知，原級數(shù)發(fā)散． （4）顯然判定數(shù)列的單調性很麻煩． 但 ，而由比值判別法易得到級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂． 從而原級數(shù)收斂，且絕對收斂． 四、判定任意項級數(shù)的斂散性 對任意項級數(shù)，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性．解題的一般思路：①先看當時，級數(shù)的通項是否趨向于零，若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②按正項級數(shù)斂散性的判別法，判定是否收斂，若收斂，則級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散，則③若上述發(fā)散是由正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級數(shù)發(fā)散；若是由比較判別法判定的，此時應利用交錯級數(shù)萊布尼茲判別法或級數(shù)斂散的性質判定是否收斂（若收斂則為條件收斂）．

18、[例7.1.11] 討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂，說明理由 （1）為常數(shù)； （2）； （3）． 解：（1），由于當充分大時，保持定號，所以級數(shù)從某項起以后為一交錯級數(shù)． 當不是整數(shù)時，不論取何值，總有，故級數(shù)發(fā)散； 當是整數(shù)時，有，因而，由于 所以利用比較判別法的極限形式可得，當時級數(shù)發(fā)散，又因為總是非增的趨于零，故由交錯級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級數(shù)收斂，且為條件收斂；當時，級數(shù)顯然收斂，且絕對收斂． （2）由于 所以原級數(shù)為交錯級數(shù)． 先判定級數(shù)的斂散性 由于當時，，所以 由于級數(shù)發(fā)散，所以

19、級數(shù)發(fā)散． 因為原級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收斂． （3）這是任意項級數(shù)．考慮每三項加一括號所成的級數(shù) 此級數(shù)的通項是的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用比較判別法知它是發(fā)散的，由級數(shù)的基本性質可得，原級數(shù)發(fā)散． 五、關于數(shù)項級數(shù)斂散性的證明題 證明某個未給出通項具體表達式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題，一般用級數(shù)收斂的定義、比較判別法或級數(shù)的基本性質． [例7.1.12] 證明：如果級數(shù)與收斂，且，則級數(shù)也收斂． 證明：由可得，； 由級數(shù)收斂的基本性質可得收斂，

20、故由正項級數(shù)的比較判別法可得收斂． 又由于，所以級數(shù)收斂． [例7.1.13] 設，證明 （Ⅰ）存在 ； （Ⅱ）級數(shù)收斂． 證明：（Ⅰ）由于，所以根據(jù)均值不等式可得 故數(shù)列有下界． 又因為，所以單調不增，從而由單調有界準則可知，存在． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以級數(shù)是正項級數(shù)． 又因為 ， 而正項級數(shù)的前項和 所以正項級數(shù)是收斂的，由比較判別法知，原級數(shù)收斂． [例7.1.14] 設在點的某一鄰域內有連續(xù)二階導數(shù)，且，證明級數(shù) 絕對收斂． 分析：已知條件中出現(xiàn)高階導數(shù)，

21、可考慮使用泰勒公式完成． 證明：由于在點連續(xù)，且，所以可得． 將在點展開成一階泰勒公式，有 ． 由于在點的某一鄰域內連續(xù)，故存在，使得在的某小鄰域內，從而 （當充分大時） 由比較判別法可知，級數(shù)絕對收斂． [例7.1.15] 若滿足：⑴在區(qū)間上單增；⑵；⑶存在，且．證明 （Ⅰ）收斂 ； （Ⅱ）收斂． 證明：（Ⅰ）由于， 所以，從而級數(shù)收斂． （Ⅱ）由于存在，且，所以函數(shù)單調不增．又因為在區(qū)間上單增，所以必有，即級數(shù)是正項級數(shù)． 根據(jù)拉格朗日中值定理可得，

22、所以 ． 由（Ⅰ）可知收斂，所以根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂，再根據(jù)級數(shù)收斂的性質可得級數(shù)收斂． 六、其它 [例7.1.16] 設正項數(shù)列單調減少，且發(fā)散，判定級數(shù)的斂散性． 解：正項數(shù)列單調減少，由單調有界準則可得，存在，記為（）． 因為級數(shù)是交錯級數(shù)，若，由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂．但題設該級數(shù)發(fā)散，所以必定有，于是 ． 由根值判別法知，級數(shù)收斂． [例7.1.17] 討論級數(shù)在哪些處收斂？在哪些處發(fā)散？ 解：⑴ 當時，原級數(shù)為，這是交錯級數(shù)，且滿足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂； ⑵ 當時，

23、 當時，， 當時，趨向定常數(shù)， 故發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散； ⑶ 當時， 由于，所以上式中第一項以后的各項都為負的． 考察級數(shù)，由于 ， 所以根據(jù)正項級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級數(shù)發(fā)散． 從而，即原級數(shù)發(fā)散． 綜上所述，當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散． [例7.1.18] 已知，判定級數(shù)的斂散性． 分析：該級數(shù)的通項以遞推公式給出，這給級數(shù)類型的判定以及通項是否收斂于零帶來困難．不妨先假設級數(shù)通項，再看由遞推公式兩端取極限時能否導出矛盾．一旦產生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)散． 解：若，則．這與假設矛盾．因此，原級數(shù)發(fā)散． [例7.1.19] 設為常數(shù)，，討論級數(shù)

24、的斂散性． 解：由于存在，因此想到分討論． 當時，由于，所以，級數(shù)發(fā)散； 當時，=，所以，級數(shù)發(fā)散； 當時，由于，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂且絕對收斂． [例7.1.20] 已知，對于，設曲線上點處的切線與軸交點的橫坐標是 （Ⅰ）求； （Ⅱ）設是以，和為頂點的三角形的面積，求級數(shù)的和 解：（Ⅰ）曲線上點處的切線方程為 從而，從而 （Ⅱ）由題意 所以． §7.2 冪級數(shù) 本節(jié)重點是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開成冪級數(shù)． ● ?？贾R點精講 一、函

25、數(shù)項級數(shù)的概念 1．函數(shù)項級數(shù)的定義 定義：設函數(shù)都在上有定義，則稱表達式 為定義在上的一個函數(shù)項級數(shù)，稱為通項，稱為部分和函數(shù)． 2．收斂域 定義：設是定義在上的一個函數(shù)項級數(shù)，，若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱是的一個收斂點．所有收斂點構成的集合稱為級數(shù)的收斂域． 3．和函數(shù) 定義：設函數(shù)項級數(shù)的收斂域為，則任給，存在唯一的實數(shù)，使得成立．定義域為的函數(shù)稱為級數(shù)的和函數(shù)． 評注：求函數(shù)項級數(shù)收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關的數(shù)項級數(shù)的判別法． 二、冪級數(shù) 1．冪級數(shù)的定義 定義：設是一實數(shù)列，則稱形如的函數(shù)項級數(shù)為處的冪級數(shù)．

26、 時的冪級數(shù)為． 2．阿貝爾定理 定理：對冪級數(shù)有如下的結論： ⑴ 如果該冪級數(shù)在點收斂，則對滿足的一切的對應的級數(shù)都絕對收斂； ⑵ 如果該冪級數(shù)在點發(fā)散，則對滿足的一切的對應的級數(shù)都發(fā)散． [例2.1] 若冪級數(shù)在處收斂，問此級數(shù)在處是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ 解：由阿貝爾定理知，冪級數(shù)在處收斂，則對一切適合不等式 （即）的該級數(shù)都絕對收斂．故所給級數(shù)在處收斂且絕對收斂． 三、冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間 如果冪級數(shù)不是僅在處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必定存在一個正數(shù)，它具有下述性質： ⑴ 當時，絕對收斂； ⑵ 當時，發(fā)散． 如果冪級數(shù)僅在處收斂，定

27、義；如果冪級數(shù)在內收斂，則定義． 則稱上述為冪級數(shù)的收斂半徑．稱開區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間． 四、冪級數(shù)收斂半徑的求法 求冪級數(shù)的收斂半徑 法一：⑴ 求極限 ⑵ 令 則收斂半徑為； 法二：若滿足，則； 法三；⑴ 求極限 ⑵ 令 則收斂半徑為． [例2.2] 求下列冪級數(shù)的收斂域 ⑴ ⑵ ⑶ 解：⑴ 收斂半徑， 所以收斂域為； ⑵ 收斂半徑 當時，對應級數(shù)為這是收斂的交錯級數(shù)， 當時，對應級數(shù)為這是發(fā)散的級數(shù)， 于是該冪級數(shù)收斂域為； ⑶ 由于 令，可得，所以收斂半徑為 當時，對應的級數(shù)為，

28、此級數(shù)發(fā)散， 于是原冪級數(shù)的收斂域為． 五、冪級數(shù)的性質 設冪級數(shù)收斂半徑為；收斂半徑為，則 1．，收斂半徑； 2．，收斂半徑； 3．冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)； 4．冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可以逐項求導，且求導后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為．即有 ． 5．冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可以逐項積分，且積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為．即有 [例2.3] 用逐項求導或逐項積分求下列冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù) ⑴ ⑵ 解：⑴ 令，則 所以； ⑵ 令，則

29、 所以 ，． 六、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1．函數(shù)展開成冪級數(shù)的定義 定義：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，，若存在冪級數(shù)，使得 則稱在區(qū)間上能展開成處的冪級數(shù)． 2．展開形式的唯一性 定理：若函數(shù)在區(qū)間上能展開成處的冪級數(shù) 則其展開式是唯一的，且 ． 七、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù) 1．泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義 定義：如果在的某一鄰域內具有任意階導數(shù)，則稱冪級數(shù) 為函數(shù)在點的泰勒級數(shù)． 當時，稱冪級數(shù) 為函數(shù)的

30、麥克勞林級數(shù)． 2．函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件 定理：函數(shù)在處的泰勒級數(shù)在上收斂到的充分必要條件是：在處的泰勒公式 的余項在上收斂到零，即對任意的，都有． 八、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法 1．直接法 利用泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個區(qū)間上直接展開成指定點的泰勒級數(shù)的方法． 2．間接法 通過一定的運算將函數(shù)轉化為其它函數(shù)，進而利用新函數(shù)的冪級數(shù)展開將原來的函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法．所用的運算主要是四則運算、（逐項）積分、（逐項）求導、變量代換．利用的冪級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式． 冪級

31、數(shù)常用的七個展開式 ． ●● ?？碱}型及其解法與技巧 一、阿貝爾定理的應用 [例7.2.1] 設冪級數(shù)的收斂半徑為2，則冪級數(shù)在下列點處必收斂 （A） （B） （C） （D） 解：由于與有相同的收斂半徑，所以當?shù)臅r候對應的級數(shù)都絕對收斂，顯然集合中的點都滿足不等式，故選（A） [例7.2.2] 如級數(shù)在處收斂，問級數(shù)在處斂散性怎樣？ 解：由阿貝爾定理，對一切的值，級數(shù)絕對收斂，從而級數(shù)滿足：對一切的值，級

32、數(shù)絕對收斂．現(xiàn)顯然不滿足，故級數(shù)在處斂散性不確定． [例7.2.3] 設收斂，則 （A）條件收斂 （B）絕對收斂 （C）發(fā)散 （D）不定 解：考查冪級數(shù)，由于收斂，所以冪級數(shù)在點收斂，根據(jù)阿貝爾定理當時，對應的冪級數(shù)都絕對收斂，所以當時，對應的冪級數(shù)絕對收斂，而此時對應級數(shù)為．所以應選（B） [例7.2.4] 設冪級數(shù)在處條件收斂，則該冪級數(shù)的收斂半徑為． 解：由于在處條件收斂，由阿貝爾定理得，當時級數(shù) 絕對收斂．所以收斂半徑； 假設．由收斂半徑的定義知時，對應的級數(shù)都絕對收斂，所以級數(shù)在處應絕對收斂，矛盾．所以． 因此收斂半徑

33、． 二、收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域 求冪級數(shù)收斂半徑的方法我們在?？贾R點中介紹過，如果冪級數(shù)中的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，這時冪級數(shù)的收斂半徑的計算公式 如果冪級數(shù)中的冪次不是按自然數(shù)順序依次遞增的（如缺少奇數(shù)次冪或缺偶次冪等），這時不能用上面的公式計算收斂半徑，而必須使用正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法（即?？贾R點中介紹的法一與法三）求出冪級數(shù)的收斂半徑． 設冪級數(shù)的收斂半徑為．為了求冪級數(shù)的收斂域還需判別在 與處級數(shù)的斂散性． [例7.2.5] 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域 （1）

34、 （2） （3） （4） （5） 解：（1）此級數(shù)的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，其收斂半徑可直接按公式計算： 在處，級數(shù)成為，由[例7.1.8]中的（1）可知該級數(shù)發(fā)散； 在處，級數(shù)成為，可判定發(fā)散． 故原級數(shù)的收斂域為． （2）此級數(shù)的收斂半徑也可按公式計算： 在處，級數(shù)成為，這是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂； 在處，級數(shù)成為，由于，而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散． 因此所給級數(shù)的收斂域為． （3）此級

35、數(shù)缺少的偶次冪．故需利用比值判別法求收斂半徑． 令可得，，故收斂半徑為． 在處，級數(shù)成為，這是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂； 在處，級數(shù)成為，這是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂． 因此所給級數(shù)的收斂域為． （4）此級數(shù)缺少的奇次冪．故需利用比值判別法求收斂半徑． 令可得，，故收斂半徑為． 在處，級數(shù)成為，該級數(shù)顯然收斂； 在處，級數(shù)成為，該級數(shù)收斂． 因此所給級數(shù)的收斂域為． （5）此級數(shù)中的的冪次不是按自然順依次遞增的．故需用比值判別法求收斂半徑． 令可得，，故收斂半徑為． 于是冪級數(shù)的收斂域為． [例

36、7.2.6] 求冪級數(shù)的收斂域． 解：設冪級數(shù)，的收斂半徑分別為，則 ，．因此冪級數(shù)的收斂半徑為． （1） 若，則． 在，級數(shù)為收斂； 在，級數(shù)為發(fā)散，從而收斂域為． （2）若，則． 在，級數(shù)為收斂； 在，級數(shù)為收斂；，從而收斂域為． [例7.2.7] 已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，求其收斂域． 解：由于冪級數(shù)級數(shù)在處收斂，由阿貝爾定理可得，當時，對應的冪級數(shù)絕對收斂，所以收斂半徑； 假設收斂半徑，由收斂半徑的定義可知，時，對應的級數(shù)都絕對收斂，而，所以級數(shù)在處絕對收斂，與已知矛盾．故． 綜上可得，收斂半徑． 又因為級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，故收斂域為．

37、 三、函數(shù)項級數(shù)求收斂域 函數(shù)項級數(shù)求收斂域的基本方法：⑴ 用正項級數(shù)比值判別法（或根值判別法）求（或）；⑵解不等式，求出的收斂區(qū)間；⑶ 判定級數(shù)與的斂散性． 評注：函數(shù)項級數(shù)求收斂域有時也利用變量代換化為冪級數(shù)，利用冪級數(shù)求收斂域的方法來完成，或者利用數(shù)項級數(shù)其它判別法、及性質完成． [例7.2.8] 求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域 （1） （2） 解：（1） 令，可得． 而當時，，所以該級數(shù)也收斂． 所以原級數(shù)的收斂域為． （2） 令，可得，即． 當時，，所以該級數(shù)也收斂； 當時，對應的級數(shù)為，它是交錯

38、級數(shù)，由萊布尼茲判別法知，該級數(shù)收斂； 當時，對應的級數(shù)為，它是正項級數(shù)，由比較判別法知，該級數(shù)發(fā)散． 故原級數(shù)的收斂域為． [例7.2.9] 求級數(shù)的收斂域． 解：令，考察級數(shù)的收斂域 由于，所以冪級數(shù)的收斂半徑為 當時，對應冪級數(shù)為，由于，所以級數(shù)發(fā)散； 當時，對應冪級數(shù)為，由于級數(shù)和級數(shù)都收斂，所以收斂． 從而冪級數(shù)的收斂域為． 由于，所以原級數(shù)的收斂域為． 四、冪級數(shù)求和函數(shù) 求冪級數(shù)和函數(shù)的基本方法：⑴求出其收斂域；⑵利用冪級數(shù)的四則運算性質、逐項求導、逐項積分、或變量代換，將冪級數(shù)化為常用展開式的情形之一，從而得到新級數(shù)的和函數(shù)；⑶對所得到的和函數(shù)

39、做相反的分析運算，便得原冪級數(shù)的和函數(shù)． 評注：①若冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理分式，一般可用逐項求導來求和函數(shù)； ②若冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理整式，一般可用逐項積分來求和函數(shù)． [例7.2.10]求下列冪級數(shù)的和函數(shù) （1） （2） 分析：冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理整式，故應利用逐項積分來求和函數(shù)，冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理分式，應利用逐項求導來求和函數(shù)． 解：（1）由于收斂半徑 當時，對應級數(shù)為，發(fā)散； 當時，對應級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)收斂域為． 因為 令 ，則

40、 于是 ， 從而 ，， 所以和函數(shù)為． （2），所以收斂半徑為 當時，級數(shù)收斂； 當時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為． 設，則，從而 所以 當時，；當時， 故=． [例7.2.11] 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)． 解：收斂半徑為，所以收斂域為． 令 顯然 ， 又 而 所以， 故 ． [例7.2.12] 設有級數(shù) （Ⅰ）求此級數(shù)的收斂域 （Ⅱ）證明此級數(shù)滿足微分方程 （Ⅲ）求此級數(shù)的和函數(shù) 解：（Ⅰ）因為，故知級數(shù)對任何都收斂，即其收斂域為 （Ⅱ）設，則， 所以 ， （Ⅲ

41、）容易求得上述方程的通解為 由，可定出 故級數(shù)的和函數(shù)為． [例7.2.13] 設冪級數(shù)在內收斂，其和函數(shù)滿足 ， （Ⅰ）證明； （Ⅱ）求的表達式． 分析：用已知條件推證（Ⅰ）比較簡單．對于的表達式想通過解方程得到非常困難，因為所給方程超出我們所學范圍，不過可以通過（Ⅰ）把的具體表達式求出來，利用已知的常用冪級數(shù)展開式把冪級數(shù)的和函數(shù)寫出來． 證明：（Ⅰ） 由于，從而 ， 故 所以 ， ； （Ⅱ）因為，所以，于是由（Ⅰ）可得 ， 所

42、以級數(shù)為，而， 故，． 五、用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)和 求數(shù)項級數(shù)和的方法之一是利用冪級數(shù)的和函數(shù)．此方法是：①根據(jù)的特點，構造冪級數(shù)（其中取等情形中的一種）；②求冪級數(shù)的和函數(shù)，則． 評注：的構造應選取易求得和函數(shù)的冪級數(shù)． [例7.2.14] 求下列數(shù)項級數(shù)的和 （1） （2） （3） 解：（1）令，則 所以 ，因此． （2）令，則 所以， 因此． （3）令，則 ， 所以，因此． [例7.2.15] 求級數(shù)的和． 解：由于， 令 ， 則， 所以， 從而． 六、將函

43、數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù)主要用間接展開法． Ⅰ 有理分式函數(shù)展開成冪級數(shù) 有理分式函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路：①將有理分式函數(shù)分解成部分分式的和；②將各個部分分式用或 的冪級數(shù)展開式展開；③利用冪級數(shù)的四則運算性質寫出的展開式． [例7.2.16] 將展開成的冪級數(shù)． 解：由于，而 ； ， 所以． [例7.2.17] 將展開成的冪級數(shù)． 解：，而 ， ， 所以． Ⅱ 三角型函數(shù)展開成冪級數(shù) 三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路：①利用三角公式將表示成與和

44、、差的形式；②利用與的冪級數(shù)展開式將與展開；③利用冪級數(shù)的四則運算性質寫出的展開式． [例7.2.18] 將展開成的冪級數(shù)． 解：， 而 ， 所以 ． Ⅲ 對數(shù)型函數(shù)展開成冪級數(shù) 對數(shù)型函數(shù)展開成冪級數(shù)，一般有以下幾種方法： 法一：①利用乘積或商的對數(shù)性質將對數(shù)函數(shù)拆開（有時需因式分解）成與和、差形式；②利用的展開式，將與展開；③利用冪級數(shù)的四則運算性質寫出的展開式． 法二：①將函數(shù)的導函數(shù)展開；②利用逐項積分得到的展開式． [例7.2.19] 將函數(shù)，在處展開成冪級數(shù)． 解：，而 ， 所以 ，． [例

45、7.2.20] 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)． 解：，而 所以 ． Ⅳ 反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù) 反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路：①將函數(shù)的導函數(shù)展開；②利用逐項積分得到的展開式． [例7.2.21] 將展開成的冪級數(shù)． 解：，而 所以，又， 故 ． Ⅴ 其它形式的函數(shù)展開成冪級數(shù) [例7.2.22] 設，試將展開成的冪級數(shù)，并求 的和． 解：由于，所以 因此，當或時， +

46、 ， 令，則 所以 1+2，， 且=． [例7.2.23] 將展開成的冪級數(shù)． 解：由于 所以 由得： 故 ． [例7.2.24] 將在展開成冪級數(shù)． 解：依題意有 ，兩端求導得 ， 設在展開成冪級數(shù)，將其代入方程得 即 比較系數(shù)得，． 由于，故，因此，， 于是在的冪級數(shù)展開式為． 評注：冪級數(shù)與微分方程有密切的關系：本例是通過解方程來展開冪級數(shù)，而[例7.2.12]是利用解方程來求冪級數(shù)的和函數(shù)． 七、冪級數(shù)的應用 [

47、例7.2.25] 已知，計算 分析：已知條件為某個已知和的數(shù)項級數(shù)，但所求的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個角度來考慮問題．既然要用已知條件求出積分，那該積分能否表示成某一級數(shù)的形式呢？于是問題的關鍵就是如何將被積函數(shù)展開成的冪級數(shù)． 解：由于 ， 所以 ． [例7.2.26] 設，求． 分析：根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性，的麥克勞林級數(shù)就是在的冪級數(shù)展開式，所以，即． 解：由于， 所以， 從而． [例7.2.27] 設，證明：時， 分析：證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論． 證明：令，則

48、 由拉格朗日中值定理推論可得： 又， 從而． [例7.2.28] 求證． 分析：等號左邊的級數(shù)固然可以求和函數(shù)，但是等號右邊的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個角度來考慮問題．既然證明積分的結果是一級數(shù)，那該級數(shù)能否看作是某一冪級數(shù)逐項積分的結果呢？于是問題的關鍵就是如何將被積函數(shù)展開成的冪級數(shù)． 解：當時， 又因為，所以 從而 ．

49、 §7.3 傅里葉級數(shù) 本節(jié)重點是傅里葉級數(shù)的狄里赫萊定理、將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)． ● 常考知識點精講 一、傅里葉級數(shù) 定義1：設函數(shù)在區(qū)間上可積，令 則三角級數(shù)叫以為周期的傅里葉級數(shù)，其中 叫的傅里葉系數(shù)． 定義2：設函數(shù)在區(qū)間上可積，令 則三角級數(shù)叫以為周期的傅里葉級數(shù)，其中 叫的傅里葉系數(shù)． [例3.1] 設的傅里葉級數(shù)為，則其中的系數(shù)的值為． 解： ， 其中 于是 ．

50、二、傅里葉級數(shù)的收斂定理 定理（狄里赫萊定理）如果在區(qū)間上滿足： （1）只有有限個第一類間斷點； （2）只有有限個極值點 則的以為周期的傅里葉級數(shù) 的收斂域為，其和函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，在其一個周期上的表達式為 三、對稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 命題1：若為定義在上的偶函數(shù)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)為 其中 命題2：若為定義在上的奇函數(shù)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)為 其中 ． ●● 常考題型及其解法與技巧 一、狄

51、里赫萊定理的應用 [例7.3.1] 設，則其以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于，在收斂于． 解：根據(jù)狄里赫萊定理知： 以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于 ， 以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于 ． [例7.3.2] 設函數(shù)，而，其中，則． （A） （B） （C） （D） 解：是函數(shù)先作奇延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)．由于在處連續(xù)，所以由狄里赫萊定理可得 而為奇函數(shù)，所以．故應選（C）． [例7.3.3] 設，，，其中 ，則等于 （A） （B）

52、 （C） （D） 解：是函數(shù)先作偶延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)．由狄里赫萊定理， 而 ， 故應選（C）． 二、將函數(shù)在上展開成傅里葉級數(shù) 這里有兩種情況：一是已知函數(shù)在上的表達式，且是以為周期的函數(shù)，要將展開成傅里葉級數(shù)；二是僅在上定義，要將展開成傅里葉級數(shù)．如果是后一種情況，只需通過周期延拓的方法，在區(qū)間外擴充的定義，使它延拓為以為周期的函數(shù)，就變成了前一種情況．這兩種情形的解題方法是相同的．具體為：① 畫出的草

53、圖，驗證是否滿足狄里赫萊定理的條件；②求出傅里葉系數(shù)，寫出的傅里葉級數(shù)；③利用狄里赫萊定理得到的傅里葉展開式，并注明展開式成立的范圍． 評注：畫出的草圖的目的，一是為了驗證狄里赫萊定理的條件；二是為了找到展開式成立的范圍（連續(xù)點都可以展開）． [例7.3.4] 將展開成以6為周期的傅里葉級數(shù)． 解：畫出的草圖如下所示． 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件． 又 ， ， 所以以6為周期的傅里葉級數(shù)為 又因為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足： ， 而，所以 ，． 三、將函數(shù)在

54、上展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 如函數(shù)在上有定義，要將它展開成正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)）的一般思路：① 將函數(shù)延拓成上的奇函數(shù)（或偶函數(shù)）；②畫出的草圖，驗證是否滿足狄里赫萊定理的條件；③求出傅里葉系數(shù)，寫出的傅里葉級數(shù)；④利用狄里赫萊定理將展開成正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)），并注明展開式成立的范圍． [例7.3.5] 設，試將展開成周期為4 的余弦級數(shù)． 解：將延拓成上的偶函數(shù)． 畫出的草圖如下圖所示： 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件． 又 （） 所以以4為周期的傅里葉級數(shù)為

55、 又因為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足： 所以， 故，． 四、利用函數(shù)的傅里葉展開式，求收斂常數(shù)項級數(shù)的和 利用函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式也是求收斂常數(shù)項級數(shù)和的方法之一，思路為：①求出所給函數(shù)的傅里葉展開式；②根據(jù)傅里葉系數(shù)的特點，確定傅里葉展開式在某個點所得到的級數(shù)恰為常數(shù)項級數(shù)；③用狄里赫萊定理求出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在的值，即為所求． [例7.3.6] 將函數(shù)， 在展開成以為周期的余弦級數(shù)，并求下列數(shù)項級數(shù)的和． （1）； （2）； （3）． 解： 將作偶延拓，得到上的偶函數(shù)． 畫出

56、的草圖如圖所示： 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件 則 所以 因為在內連續(xù)，的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足 ， 因此 （**） 在式（**）中分別令和，得 ， 由此可得 （1）， （2）， 再將上兩式逐項相加，又得

57、 故 （3）． 五、其它 [例7.3.7] 設是以為周期的連續(xù)函數(shù)，并且傅里葉系數(shù)為 ．求的傅里葉系數(shù)，并利用所得結果推出 ． 分析：是抽象函數(shù)，也不可能得到具體的解析表達式，因此只能借助于的傅里葉系數(shù)來表示的傅里葉系數(shù)．另外應該看到求證的等式左端為． 解：顯然是以為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù) （交換積分次序所得） （利用周期函數(shù)的積分性質所得） 由上述類似方法可得 由狄里赫萊定理知

58、 特別當時 ． [例7.3.8] 證明當時， 分析：這里要證明一個三角級數(shù)在指定區(qū)間內收斂于一個函數(shù)．這是傅里葉級數(shù)的反問題．證明這一類題的一般方法是將所給函數(shù)在指定區(qū)間上展開成傅里葉級數(shù)，看它是不是等于給定的級數(shù)． 證明：令 因為所給級數(shù)只含余弦項，故將函數(shù)偶延拓到區(qū)間內，于是其傅里葉系數(shù)． （ 所以， 故． 　　　　　　　

59、　　知識點、考點測試 一、選擇題 1．下列命題中正確的是 設正項級數(shù)發(fā)散，則 設收斂，則收斂 設，至少有一個發(fā)散，則發(fā)散 設收斂，則，均收斂． 2．下列論述正確的是 收斂，則收斂 3．設條件收斂，則必有 存在自然數(shù)，使得當成立， 收斂 發(fā)散 收斂 4．已知，且條件收斂．若設 （，則級數(shù) （A）條件收斂 （B）絕對收斂 （C）發(fā)散

60、 （D）斂散性取決于的具體形式 5．設絕對收斂，則下列各選項正確的是（ ） （A）發(fā)散 （B）條件收斂 （C）絕對收斂 （D） 6．對于常數(shù)，級數(shù) 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 收斂性與的取值有關 7．設且收斂，常數(shù)，則級數(shù) 絕對收斂

61、 條件收斂 發(fā)散 斂散性與有關 8．設級數(shù)收斂，則的值分別為 9．設正項級數(shù)收斂， ，則級數(shù) （A）發(fā)散 （B）絕對收斂 （C）條件收斂 （D）不定 10．在下列級數(shù) （1）

62、 （2） （3） （4） 中收斂的一共有（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 11．設冪級數(shù)在處收斂，則當時，此級數(shù) 絕對收斂 發(fā)散 條件收斂 斂散性不確定 12．設冪級數(shù)在點條件收斂，則冪級數(shù)，在點處 絕對收斂

63、 條件收斂 發(fā)散 不能確定 13．若級數(shù)的收斂域分別是 14．設收斂，則級數(shù)的收斂半徑是 15．將函

64、數(shù)在上展開為余弦級數(shù)，則其和函數(shù)在處的函數(shù)值分別為（ ） （A） （B）0，2，0 （C） （D） 16．設以為周期的函數(shù)，有傅里葉級數(shù) 則下列函數(shù)的圖形哪一種可保證在可展開成傅里葉級數(shù)，即成立等式 二、填空題 1．設冪級數(shù)的收斂半徑是2，則冪級數(shù)的收斂半徑是． 2．設有級數(shù)，若，則該級數(shù)的收斂半徑等于． 3．設冪級數(shù)的收斂半徑為，則的收斂半徑為． 4．已知冪級數(shù)當時條件收斂，則該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為． 5．設的收

65、斂區(qū)間為，則級數(shù)的收斂區(qū)間為． 6．冪級數(shù)的收斂域為． 7．冪級數(shù)的收斂域為． 8．將函數(shù)展成的冪級數(shù)是． 9．設，而，，其中，則． 10．設函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為 則其中系數(shù) 11．設，則其以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于，在收斂于． 三、解答題 1． 判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） （3）判斷級數(shù)的斂散性． （4） 2．判別級數(shù)的斂散性 3．判斷級數(shù)的斂散性．其中 4．設為單調減少的正項數(shù)列，且發(fā)散，試討論級數(shù)的斂散性， 5．討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，

66、指出是條件收斂還是絕對收斂，說明理由． （1） （2） （3） 6．研究級數(shù)的斂散性（其中 7．求下列冪級數(shù)的收斂域 （1） （2） （3） （4） 8．求下列冪級數(shù)的和函數(shù) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．求冪級數(shù)的收斂半徑，收斂域及其和函數(shù)；并求數(shù)項級數(shù) 的和． 10．求下列數(shù)項級數(shù)的和 （1） （2） （3） （4） 11．將展開為的冪級數(shù) ． 12．將展開成的冪級